人邮高数 第2章 第2-7-26题

[AI解答]

[AI解答]

本题需要计算汽车在抛物线拱桥顶点处对桥面的压力。由于汽车在拱桥上做曲线运动，在最高点处存在向心加速度，因此桥面对汽车的支持力不等于汽车的重力，两者之差提供向心力。根据牛顿第三定律，汽车对桥的压力等于桥面对汽车的支持力。

步骤1：建立坐标系与抛物线方程

设拱桥的跨度为 $10\,\mathrm{m}$，矢高（拱顶到两端连线的垂直距离）为 $0.25\,\mathrm{m}$。将坐标原点设在拱顶，x轴水平向右，y轴竖直向下为正。则桥的两端坐标为 $(-5, 0.25)$ 和 $(5, 0.25)$，拱顶在 $(0,0)$。

抛物线方程可设为：
$$
y = a x^2
$$
因为顶点在原点且开口向下（相对实际拱形，这里y向下为正，所以a>0时曲线向下弯）。

代入端点坐标 $(5, 0.25)$：
$$
0.25 = a \cdot 5^2 \quad\Rightarrow\quad a = \frac{0.25}{25} = 0.01
$$
因此桥面曲线方程为：
$$
y = 0.01 x^2
$$

步骤2：求拱顶处的曲率半径

曲线 $y = f(x)$ 的曲率半径公式为：
$$
\rho = \frac{\left(1 + (y')^2\right)^{3/2}}{|y''|}
$$

计算导数：
$$
y' = 0.02x, \quad y'' = 0.02
$$
在拱顶 $x=0$ 处：
$$
y'(0) = 0, \quad y''(0) = 0.02
$$
所以曲率半径：
$$
\rho = \frac{(1+0)^{3/2}}{0.02} = \frac{1}{0.02} = 50\,\mathrm{m}
$$

步骤3：计算向心加速度与支持力

汽车质量：
$$
m = 5\,\mathrm{t} = 5000\,\mathrm{kg}
$$
速度：
$$
v = 21.6\,\mathrm{km/h} = 21.6 \times \frac{1000}{3600} = 6\,\mathrm{m/s}
$$

在拱顶处，汽车受到重力 $mg$ 向下，桥面支持力 $N$ 向上。向心力方向指向圆心（即竖直向下，因为曲率中心在下方），由牛顿第二定律：
$$
mg - N = m \frac{v^2}{\rho}
$$
所以支持力：
$$
N = mg - m\frac{v^2}{\rho} = m\left(g - \frac{v^2}{\rho}\right)
$$

代入数值：
$$
g = 9.8\,\mathrm{m/s^2},\quad v=6,\quad \rho=50
$$
$$
\frac{v^2}{\rho} = \frac{36}{50} = 0.72
$$
$$
N = 5000 \times (9.8 - 0.72) = 5000 \times 9.08 = 45400\,\mathrm{N}
$$

步骤4：结论

汽车越过桥顶时对桥的压力大小等于支持力 $N$，方向竖直向下。

$$
\boxed{45400\,\mathrm{N}}
$$

难度评级：★★★☆☆
（涉及曲率半径计算、向心力分析及单位换算，属于中等难度综合题）