人邮高数 第2章 第2-7-9题
📝 题目
9．从半径为 $R$ 的圆上截下中心角为 $\theta$ 的扇形，卷成一圆雉形漏斗，问：$\theta$ 为何值时，漏斗的容积最大。
💡 答案解析
[AI解答]
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我们考虑半径为 $R$ 的圆，截取中心角为 $\theta$（弧度制）的扇形，将其卷成一个圆锥形漏斗。
扇形弧长即为圆锥底面周长，底面半径记为 $r$，则有：
$$
2\pi r = R\theta \quad\Rightarrow\quad r = \frac{R\theta}{2\pi}.
$$
扇形的半径 $R$ 成为圆锥的母线长度 $l = R$。
圆锥的高 $h$ 由勾股定理得到：
$$
h = \sqrt{R^2 - r^2} = \sqrt{R^2 - \left(\frac{R\theta}{2\pi}\right)^2}
= R\sqrt{1 - \frac{\theta^2}{4\pi^2}}.
$$
圆锥的体积公式为：
$$
V = \frac{1}{3}\pi r^2 h.
$$
代入 $r$ 和 $h$：
$$
V(\theta) = \frac{1}{3}\pi \left( \frac{R^2\theta^2}{4\pi^2} \right)
\cdot R\sqrt{1 - \frac{\theta^2}{4\pi^2}}
= \frac{R^3}{12\pi}\, \theta^2 \sqrt{1 - \frac{\theta^2}{4\pi^2}}.
$$
为简化，令 $t = \theta^2$，则 $0 < \theta < 2\pi$，即 $0 < t < 4\pi^2$。
体积函数（去掉常数因子）可写为：
$$
f(t) = t \sqrt{1 - \frac{t}{4\pi^2}}.
$$
求导：
$$
f'(t) = \sqrt{1 - \frac{t}{4\pi^2}} + t \cdot \frac{1}{2\sqrt{1 - \frac{t}{4\pi^2}}} \cdot \left(-\frac{1}{4\pi^2}\right)
= \sqrt{1 - \frac{t}{4\pi^2}} - \frac{t}{8\pi^2\sqrt{1 - \frac{t}{4\pi^2}}}.
$$
令 $f'(t)=0$，两边乘以 $\sqrt{1 - \frac{t}{4\pi^2}}$：
$$
1 - \frac{t}{4\pi^2} - \frac{t}{8\pi^2} = 0
\;\Rightarrow\;
1 - \frac{3t}{8\pi^2} = 0
\;\Rightarrow\;
t = \frac{8\pi^2}{3}.
$$
于是：
$$
\theta = \sqrt{t} = \sqrt{\frac{8\pi^2}{3}} = 2\pi\sqrt{\frac{2}{3}}.
$$
由于定义域内导数符号由正变负，该点为极大值点，即最大容积点。
因此，当中心角 $\displaystyle \theta = 2\pi\sqrt{\frac{2}{3}}$ 时，漏斗容积最大。
难度：★★☆☆☆