人邮高数 第2章 第2-7-8题
📝 题目
8．若直角三角形的一个直角边与斜边之和为常数 $a$ ，求具有最大面积的直角三角形．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
设直角三角形的两条直角边分别为 $x$ 和 $y$，斜边为 $z$，且满足
$$
x + z = a \quad (a > 0)
$$
由勾股定理：
$$
x^2 + y^2 = z^2
$$
由条件 $z = a - x$，代入得
$$
x^2 + y^2 = (a - x)^2
$$
展开右边：
$$
x^2 + y^2 = a^2 - 2ax + x^2
$$
消去 $x^2$，得
$$
y^2 = a^2 - 2ax
$$
因此
$$
y = \sqrt{a^2 - 2ax}
$$
因为 $y > 0$，所以要求 $a^2 - 2ax > 0$，即 $x < \frac{a}{2}$，同时 $x > 0$。
直角三角形的面积为
$$
S = \frac{1}{2} x y = \frac{1}{2} x \sqrt{a^2 - 2ax}
$$
为求最大值，考虑函数
$$
f(x) = x^2 (a^2 - 2ax) = a^2 x^2 - 2a x^3
$$
对 $x$ 求导：
$$
f'(x) = 2a^2 x - 6a x^2 = 2a x (a - 3x)
$$
令 $f'(x) = 0$，得
$$
x = 0 \quad (\text{舍去}), \quad x = \frac{a}{3}
$$
由于定义域为 $0 < x < \frac{a}{2}$，且 $\frac{a}{3} < \frac{a}{2}$，故该点为内点。
计算二阶导数或判断符号：当 $x < \frac{a}{3}$ 时 $f'(x) > 0$，当 $x > \frac{a}{3}$ 时 $f'(x) < 0$，因此 $x = \frac{a}{3}$ 是极大值点。
此时
$$
y = \sqrt{a^2 - 2a \cdot \frac{a}{3}} = \sqrt{a^2 - \frac{2a^2}{3}} = \sqrt{\frac{a^2}{3}} = \frac{a}{\sqrt{3}}
$$
斜边
$$
z = a - x = a - \frac{a}{3} = \frac{2a}{3}
$$
最大面积为
$$
S_{\max} = \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{3} \cdot \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{a^2}{6\sqrt{3}}
$$
因此，当两直角边分别为 $\displaystyle{\frac{a}{3}}$ 和 $\displaystyle{\frac{a}{\sqrt{3}}}$，斜边为 $\displaystyle{\frac{2a}{3}}$ 时，直角三角形面积最大。
难度：★★☆☆☆