人邮高数 第2章 第2-7-7题

教材习题

📝 题目

7．在直线 $3 x-y-3=0$ 上求一点，使它与点 $A(1,1)$ 和 $B(6,4)$ 的距离平方和最小．

💡 答案解析

[AI解答]

[AI解答]
设所求点为 $P(x, y)$，它在直线 $3x - y - 3 = 0$ 上，因此满足
$$
y = 3x - 3.
$$
点 $P$ 到 $A(1,1)$ 和 $B(6,4)$ 的距离平方和为
$$
S = (x-1)^2 + (y-1)^2 + (x-6)^2 + (y-4)^2.
$$
代入 $y = 3x - 3$，得
$$
S(x) = (x-1)^2 + \big[(3x-3)-1\big]^2 + (x-6)^2 + \big[(3x-3)-4\big]^2.
$$
化简括号内：
$$
(3x-3)-1 = 3x-4,\quad (3x-3)-4 = 3x-7.
$$
因此
$$
S(x) = (x-1)^2 + (3x-4)^2 + (x-6)^2 + (3x-7)^2.
$$
分别展开平方项：
$$
(x-1)^2 = x^2 - 2x + 1,
$$
$$
(3x-4)^2 = 9x^2 - 24x + 16,
$$
$$
(x-6)^2 = x^2 - 12x + 36,
$$
$$
(3x-7)^2 = 9x^2 - 42x + 49.
$$
合并同类项：
$$
x^2 + 9x^2 + x^2 + 9x^2 = 20x^2,
$$
$$
-2x -24x -12x -42x = -80x,
$$
常数项：
$$
1 + 16 + 36 + 49 = 102.
$$
所以
$$
S(x) = 20x^2 - 80x + 102.
$$
这是一个开口向上的二次函数，最小值在导数为零处取得：
$$
S'(x) = 40x - 80 = 0 \quad\Rightarrow\quad x = 2.
$$
代入直线方程得
$$
y = 3(2) - 3 = 3.
$$
因此所求点为
$$
\boxed{(2,3)}.
$$

难度：★☆☆☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/5
目标：设所求点并利用直线方程消元
设所求点为 P(x, y)，由于它在直线 3x - y - 3 = 0 上，因此 y = 3x - 3。
公式：y = 3x - 3
提示：将直线方程变形为 y 关于 x 的表达式，便于代入距离平方和。
步骤 2/5
目标：写出距离平方和表达式
点 P 到 A(1,1) 和 B(6,4) 的距离平方和为 S = (x-1)^2 + (y-1)^2 + (x-6)^2 + (y-4)^2。
公式：S = (x-1)^2 + (y-1)^2 + (x-6)^2 + (y-4)^2
提示：距离平方公式：两点间距离平方为 (x1-x2)^2 + (y1-y2)^2。
步骤 3/5
目标：代入 y 并化简
将 y = 3x - 3 代入 S，得 S(x) = (x-1)^2 + (3x-4)^2 + (x-6)^2 + (3x-7)^2。展开并合并同类项：S(x) = 20x^2 - 80x + 102。
公式：S(x) = 20x^2 - 80x + 102
提示：注意 (3x-3-1)=3x-4，(3x-3-4)=3x-7。合并时仔细计算系数。
步骤 4/5
目标：求二次函数的最小值点
S(x) 是开口向上的二次函数，最小值在导数为零处。求导得 S'(x)=40x-80=0，解得 x=2。
公式：S'(x)=40x-80=0 ⇒ x=2
提示：二次函数最小值也可用顶点公式 x = -b/(2a) 求得，其中 a=20, b=-80。
步骤 5/5
目标：回代求 y 并给出答案
将 x=2 代入直线方程 y=3x-3，得 y=3。因此所求点为 (2,3)。
公式：y = 3*2 - 3 = 3
提示：检查点是否在直线上：3*2-3=3，正确。

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