人邮高数 第3章 第3-2-6题

[AI解答]

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我们要求计算不定积分：
$$
\int \frac{x^{2} e^{x}}{(x+2)^{2}} \, dx
$$

第一步：观察结构，考虑分部积分
被积函数是 $\frac{x^{2} e^{x}}{(x+2)^{2}}$，可以写成：
$$
x^{2} e^{x} \cdot \frac{1}{(x+2)^{2}}
$$
注意到 $\frac{d}{dx}\left( -\frac{1}{x+2} \right) = \frac{1}{(x+2)^{2}}$，因此令：
$$
u = x^{2} e^{x}, \quad dv = \frac{1}{(x+2)^{2}} dx
$$
则：
$$
du = (2x e^{x} + x^{2} e^{x}) dx = x e^{x}(x+2) dx
$$
$$
v = -\frac{1}{x+2}
$$

第二步：应用分部积分公式
分部积分公式 $\int u\, dv = uv - \int v\, du$ 给出：
$$
\int \frac{x^{2} e^{x}}{(x+2)^{2}} dx = -\frac{x^{2} e^{x}}{x+2} - \int \left( -\frac{1}{x+2} \right) \cdot x e^{x}(x+2) dx
$$
化简第二项：
$$
= -\frac{x^{2} e^{x}}{x+2} + \int x e^{x} \, dx
$$

第三步：计算剩余积分
$\int x e^{x} dx$ 再次使用分部积分，令 $u = x, dv = e^{x} dx$，则 $du = dx, v = e^{x}$：
$$
\int x e^{x} dx = x e^{x} - \int e^{x} dx = x e^{x} - e^{x} + C
$$

第四步：合并结果
因此原积分为：
$$
\int \frac{x^{2} e^{x}}{(x+2)^{2}} dx = -\frac{x^{2} e^{x}}{x+2} + x e^{x} - e^{x} + C
$$
可以整理为：
$$
= e^{x} \left( x - 1 - \frac{x^{2}}{x+2} \right) + C
$$
或者通分：
$$
= e^{x} \cdot \frac{(x-1)(x+2) - x^{2}}{x+2} + C
= e^{x} \cdot \frac{x^{2} + x - 2 - x^{2}}{x+2} + C
= e^{x} \cdot \frac{x - 2}{x+2} + C
$$

最终答案：
$$
\boxed{\displaystyle \frac{x-2}{x+2} e^{x} + C}
$$

难度评级：★★☆☆☆
（主要考察分部积分法的灵活运用，以及对分母导数的观察，计算量不大，但需要一定的技巧。）