人邮高数 第3章 第3-4-8题
📝 题目
8．求极限 $\displaystyle{\lim _{n \rightarrow \infty} \displaystyle{\int}_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin ^{n} x \mathrm{~d} x$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
我们要求极限
$$
\lim_{n \to \infty} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin^{n} x \, \mathrm{d}x.
$$
第一步：分析被积函数在区间上的行为
当 $x \in [0, \frac{\pi}{4}]$ 时，有 $0 \le \sin x \le \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} < 1$。
因此，对任意固定的 $x \in (0, \frac{\pi}{4}]$，有
$$
\lim_{n\to\infty} \sin^n x = 0,
$$
而在 $x=0$ 处，$\sin^n 0 = 0$ 也成立。所以被积函数逐点收敛到 0。
第二步：考虑控制收敛或直接放缩
由于 $0 \le \sin^n x \le \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^n$ 在 $[0, \frac{\pi}{4}]$ 上一致成立，因此
$$
0 \le \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin^n x \, \mathrm{d}x
\le \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^n \mathrm{d}x
= \frac{\pi}{4} \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^n.
$$
第三步：取极限
因为 $\frac{\sqrt{2}}{2} < 1$，所以
$$
\lim_{n\to\infty} \frac{\pi}{4} \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^n = 0.
$$
由夹逼定理，原极限为 0。
因此
$$
\boxed{0}.
$$
难度：★☆☆☆☆