人邮高数 第3章 第3-5-10题
📝 题目
10．设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\sin x, & 0 \leqslant x\lt \frac{\pi}{2}, \\ x, & \frac{\pi}{2} \leqslant x \leqslant \pi,\end{array}\right.$ 求 $\displaystyle{\int}_{0}^{\pi} f(x) \mathrm{d} x$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
题目要求计算分段函数 $ f(x) $ 在区间 $[0, \pi]$ 上的定积分。分段点为 $ x = \frac{\pi}{2} $，因此将积分区间分为两段分别积分再相加。
首先写出分段函数：
$$
f(x) =
\begin{cases}
\sin x, & 0 \le x < \frac{\pi}{2}, \\
x, & \frac{\pi}{2} \le x \le \pi.
\end{cases}
$$
则所求积分为：
$$
\displaystyle{\int}_{0}^{\pi} f(x) \, \mathrm{d}x
= \displaystyle{\int}_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x \, \mathrm{d}x
+ \displaystyle{\int}_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} x \, \mathrm{d}x.
$$
分别计算：
$$
\displaystyle{\int}_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x \, \mathrm{d}x
= \left[ -\cos x \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}
= -\cos\frac{\pi}{2} + \cos 0
= -0 + 1 = 1.
$$
$$
\displaystyle{\int}_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} x \, \mathrm{d}x
= \left[ \frac{x^{2}}{2} \right]_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}
= \frac{\pi^{2}}{2} - \frac{(\frac{\pi}{2})^{2}}{2}
= \frac{\pi^{2}}{2} - \frac{\pi^{2}}{8}
= \frac{4\pi^{2} - \pi^{2}}{8}
= \frac{3\pi^{2}}{8}.
$$
相加得：
$$
\displaystyle{\int}_{0}^{\pi} f(x) \, \mathrm{d}x
= 1 + \frac{3\pi^{2}}{8}.
$$
因此，最终结果为：
$$
\boxed{1 + \frac{3\pi^{2}}{8}}.
$$
难度：★☆☆☆☆