人邮高数 第3章 第3-5-11题
📝 题目
11．设函数 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1-\cos x}{x^{2}}, & x\lt 0, \\ 2, & x=0, \\ \frac{x_{0}^{x^{2}} \cos x^{2} \mathrm{~d} x}{2 x^{2}}, & x\gt 0,\end{array}\right.$ 求（1） $\displaystyle{\lim} _{x \rightarrow 0} f(x) ;(2) f(x)$ 在 $x=0$ 处连续吗？为什么？
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
我们首先仔细分析题目给出的分段函数：
$$
f(x)=
\begin{cases}
\displaystyle{\frac{1-\cos x}{x^{2}}}, & x<0,\$$6pt]
2, & x=0,\$$6pt]
\displaystyle{\frac{\int_{0}^{x^{2}} \cos t^{2} \, \mathrm{d}t}{2x^{2}}}, & x>0.
\end{cases}
$$
注意：原题第三行写法可能有笔误，应为积分上限是 $x^2$，被积函数是 $\cos t^2$，分母是 $2x^2$，这样才合理。
---
（1）求 $\displaystyle{\lim_{x \to 0} f(x)}$
由于是分段函数，需要分别求左极限和右极限。
#### 左极限 $x\to 0^{-}$：
当 $x<0$ 时，
$$
f(x)=\frac{1-\cos x}{x^{2}}.
$$
利用等价无穷小：当 $x\to 0$ 时，$1-\cos x \sim \frac{x^{2}}{2}$，所以
$$
\lim_{x\to 0^{-}} f(x)=\lim_{x\to 0^{-}} \frac{1-\cos x}{x^{2}} = \frac12.
$$
#### 右极限 $x\to 0^{+}$：
当 $x>0$ 时，
$$
f(x)=\frac{\displaystyle{\int_{0}^{x^{2}} \cos t^{2} \, \mathrm{d}t}}{2x^{2}}.
$$
令 $u=x^{2}$，则当 $x\to 0^{+}$ 时 $u\to 0^{+}$，于是
$$
\lim_{x\to 0^{+}} f(x)=\lim_{u\to 0^{+}} \frac{\displaystyle{\int_{0}^{u} \cos t^{2} \, \mathrm{d}t}}{2u}.
$$
这是 $\frac{0}{0}$ 型，用洛必达法则（对 $u$ 求导）：
$$
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}u}\int_{0}^{u} \cos t^{2} \, \mathrm{d}t = \cos u^{2}.
$$
所以
$$
\lim_{u\to 0^{+}} \frac{\cos u^{2}}{2} = \frac{\cos 0}{2} = \frac12.
$$
因此左右极限相等：
$$
\lim_{x\to 0^{-}} f(x)=\lim_{x\to 0^{+}} f(x)=\frac12.
$$
故
$$
\boxed{\displaystyle{\lim_{x\to 0} f(x)=\frac12}}.
$$
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（2）判断 $f(x)$ 在 $x=0$ 处是否连续
函数在 $x=0$ 处连续的条件是：
$$
\lim_{x\to 0} f(x) = f(0).
$$
由（1）得 $\displaystyle{\lim_{x\to 0} f(x)=\frac12}$，而题中给出 $f(0)=2$，显然
$$
\frac12 \neq 2,
$$
所以函数在 $x=0$ 处不连续，属于可去间断点（第一类）。
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难度评级：★★☆☆☆
原因：涉及分段函数极限、等价无穷小、变上限积分求导及洛必达法则，计算量不大，但需注意分段处理。