人邮高数 第3章 第3-5-12题

[AI解答]

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已知条件为
$$
f'(x) \cdot \int_{0}^{2} f(x) \, \mathrm{d}x = 50,
$$
且 $ f(0) = 0 $。

由于积分 $\displaystyle{\int_{0}^{2} f(x) \, \mathrm{d}x}$ 是一个常数，记作
$$
C = \int_{0}^{2} f(x) \, \mathrm{d}x,
$$
则原方程化为
$$
f'(x) \cdot C = 50 \quad \Rightarrow \quad f'(x) = \frac{50}{C}.
$$
这说明 $ f'(x) $ 是常数，因此 $ f(x) $ 是一次函数。设
$$
f(x) = kx + b,
$$
由 $ f(0) = 0 $ 得 $ b = 0 $，所以
$$
f(x) = kx.
$$
于是
$$
f'(x) = k.
$$
代入 $ f'(x) = \frac{50}{C} $ 得
$$
k = \frac{50}{C}.
$$
现在计算常数 $ C $：
$$
C = \int_{0}^{2} kx \, \mathrm{d}x = k \cdot \left[ \frac{x^{2}}{2} \right]_{0}^{2} = k \cdot \frac{4}{2} = 2k.
$$
将 $ k = \frac{50}{C} $ 代入上式：
$$
C = 2 \cdot \frac{50}{C} \quad \Rightarrow \quad C^{2} = 100 \quad \Rightarrow \quad C = \pm 10.
$$
因此
$$
k = \frac{50}{C} = \frac{50}{\pm 10} = \pm 5.
$$
所以
$$
f(x) = 5x \quad \text{或} \quad f(x) = -5x.
$$

难度：★★☆☆☆