人邮高数 第3章 第3-6-2题

[AI解答]

[AI解答]

以下为各小题的详细解答，均采用定积分的换元法。

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（1）
$$
\int_{1}^{5} \frac{\sqrt{x-1}}{x} \, dx
$$
令 $ t = \sqrt{x-1} $，则 $ x = t^2 + 1 $，$ dx = 2t \, dt $。
当 $ x = 1 $ 时 $ t = 0 $，当 $ x = 5 $ 时 $ t = 2 $。
原积分化为：
$$
\int_{0}^{2} \frac{t}{t^2+1} \cdot 2t \, dt = 2\int_{0}^{2} \frac{t^2}{t^2+1} \, dt
= 2\int_{0}^{2} \left(1 - \frac{1}{t^2+1}\right) dt
= 2\left[ t - \arctan t \right]_{0}^{2}
= 2\left(2 - \arctan 2\right)
$$
难度：★★☆☆☆

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（2）
$$
\int_{0}^{4} \frac{du}{1+\sqrt{u}}
$$
令 $ t = \sqrt{u} $，则 $ u = t^2 $，$ du = 2t \, dt $。
当 $ u = 0 $ 时 $ t = 0 $，当 $ u = 4 $ 时 $ t = 2 $。
原积分化为：
$$
\int_{0}^{2} \frac{2t}{1+t} \, dt = 2\int_{0}^{2} \frac{t}{1+t} \, dt
= 2\int_{0}^{2} \left(1 - \frac{1}{1+t}\right) dt
= 2\left[ t - \ln(1+t) \right]_{0}^{2}
= 2\left(2 - \ln 3\right)
$$
难度：★★☆☆☆

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（3）
$$
\int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{(1+x^{2})^{3}} \, dx
$$
令 $ x = \tan t $，则 $ dx = \sec^2 t \, dt $，且 $ 1+x^2 = \sec^2 t $。
当 $ x = 0 $ 时 $ t = 0 $，当 $ x = 1 $ 时 $ t = \frac{\pi}{4} $。
原积分化为：
$$
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\tan^2 t}{\sec^6 t} \cdot \sec^2 t \, dt
= \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\tan^2 t}{\sec^4 t} \, dt
= \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin^2 t \cos^2 t \, dt
= \frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin^2 2t \, dt
$$
利用 $\sin^2 2t = \frac{1 - \cos 4t}{2}$：
$$
= \frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1 - \cos 4t}{2} \, dt
= \frac{1}{8} \left[ t - \frac{\sin 4t}{4} \right]_{0}^{\frac{\pi}{4}}
= \frac{1}{8} \left( \frac{\pi}{4} - 0 \right) = \frac{\pi}{32}
$$
难度：★★★☆☆

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（4）
$$
\int_{0}^{2} \frac{1}{\sqrt{x+1} + \sqrt{(x+1)^3}} \, dx
$$
令 $ t = \sqrt{x+1} $，则 $ x = t^2 - 1 $，$ dx = 2t \, dt $。
当 $ x = 0 $ 时 $ t = 1 $，当 $ x = 2 $ 时 $ t = \sqrt{3} $。
原积分化为：
$$
\int_{1}^{\sqrt{3}} \frac{2t}{t + t^3} \, dt
= \int_{1}^{\sqrt{3}} \frac{2}{1 + t^2} \, dt
= 2\left[ \arctan t \right]_{1}^{\sqrt{3}}
= 2\left( \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\pi}{6}
$$
难度：★★☆☆☆

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（5）
$$
\int_{1}^{\sqrt{3}} \frac{1}{x^{2} \sqrt{1+x^{2}}} \, dx
$$
令 $ x = \tan t $，则 $ dx = \sec^2 t \, dt $，$\sqrt{1+x^2} = \sec t$。
当 $ x = 1 $ 时 $ t = \frac{\pi}{4} $，当 $ x = \sqrt{3} $ 时 $ t = \frac{\pi}{3} $。
原积分化为：
$$
\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sec^2 t}{\tan^2 t \cdot \sec t} \, dt
= \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sec t}{\tan^2 t} \, dt
= \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\cos t}{\sin^2 t} \, dt
$$
令 $ u = \sin t $，则 $ du = \cos t \, dt $，当 $ t = \frac{\pi}{4} $ 时 $ u = \frac{\sqrt{2}}{2} $，当 $ t = \frac{\pi}{3} $ 时 $ u = \frac{\sqrt{3}}{2} $。
原积分化为：
$$
\int_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{1}{u^2} \, du
= \left[ -\frac{1}{u} \right]_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}}
= -\frac{2}{\sqrt{3}} + \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} - \frac{2\sqrt{3}}{3}
$$
难度：★★★☆☆

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（6）
$$
\int_{0}^{1} x^{2} \sqrt{1-x^{2}} \, dx
$$
令 $ x = \sin t $，则 $ dx = \cos t \, dt $，$\sqrt{1-x^2} = \cos t$。
当 $ x = 0 $ 时 $ t = 0 $，当 $ x = 1 $ 时 $ t = \frac{\pi}{2} $。
原积分化为：
$$
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 t \cdot \cos t \cdot \cos t \, dt
= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 t \cos^2 t \, dt
= \frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 2t \, dt
$$
利用 $\sin^2 2t = \frac{1 - \cos 4t}{2}$：
$$
= \frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 - \cos 4t}{2} \, dt
= \frac{1}{8} \left[ t - \frac{\sin 4t}{4} \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}
= \frac{1}{8} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{16}
$$
难度：★★★☆☆

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（7）
$$
\int_{-2}^{-1} \frac{dx}{x \sqrt{x^{2}-1}}
$$
令 $ x = \sec t $，则 $ dx = \sec t \tan t \, dt $，$\sqrt{x^2-1} = \tan t$。
当 $ x = -2 $ 时 $ \sec t = -2 $，取 $ t = \frac{2\pi}{3} $；当 $ x = -1 $ 时 $ \sec t = -1 $，取 $ t = \pi $。
原积分化为：
$$
\int_{\frac{2\pi}{3}}^{\pi} \frac{\sec t \tan t}{\sec t \cdot \tan t} \, dt
= \int_{\frac{2\pi}{3}}^{\pi} 1 \, dt = \pi - \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{3}
$$
难度：★★★☆☆

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（8）
$$
\int_{1}^{2} \frac{\sqrt{x^{2}-1}}{x} \, dx