人邮高数 第3章 第3-7-2题
📝 题目
2．求拖物线 $y=-x^{2}+4 x-3$ 及其在点 $(0,-3)$ 和（ 3,0 ）处的切线所围平面图形的面积．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
首先，已知抛物线方程为
$$
y = -x^{2} + 4x - 3.
$$
求导得
$$
y' = -2x + 4.
$$
在点 $(0, -3)$ 处，斜率
$$
k_1 = y'(0) = 4,
$$
切线方程为
$$
y + 3 = 4(x - 0) \quad\Rightarrow\quad y = 4x - 3.
$$
在点 $(3, 0)$ 处，斜率
$$
k_2 = y'(3) = -2\cdot 3 + 4 = -2,
$$
切线方程为
$$
y - 0 = -2(x - 3) \quad\Rightarrow\quad y = -2x + 6.
$$
现在求两条切线的交点：
解
$$
4x - 3 = -2x + 6 \quad\Rightarrow\quad 6x = 9 \quad\Rightarrow\quad x = \frac{3}{2},
$$
代入得
$$
y = 4\cdot\frac{3}{2} - 3 = 6 - 3 = 3.
$$
所以交点为 $\left(\frac{3}{2}, 3\right)$。
所求图形是由抛物线及两条切线围成的封闭区域。
在 $x$ 从 $0$ 到 $\frac{3}{2}$ 区间，上方是切线 $y = 4x - 3$，下方是抛物线；
在 $x$ 从 $\frac{3}{2}$ 到 $3$ 区间，上方是切线 $y = -2x + 6$，下方是抛物线。
因此面积为
$$
\begin{aligned}
S &= \displaystyle\int_{0}^{\frac{3}{2}} \left[(4x - 3) - (-x^{2}+4x-3)\right]\,dx
+ \displaystyle\int_{\frac{3}{2}}^{3} \left[(-2x+6) - (-x^{2}+4x-3)\right]\,dx.
\end{aligned}
$$
化简第一个被积函数：
$$
(4x-3) - (-x^{2}+4x-3) = 4x-3 + x^{2} - 4x + 3 = x^{2}.
$$
化简第二个被积函数：
$$
(-2x+6) - (-x^{2}+4x-3) = -2x+6 + x^{2} - 4x + 3 = x^{2} - 6x + 9 = (x-3)^{2}.
$$
于是
$$
S = \displaystyle\int_{0}^{\frac{3}{2}} x^{2}\,dx + \displaystyle\int_{\frac{3}{2}}^{3} (x-3)^{2}\,dx.
$$
计算：
$$
\displaystyle\int_{0}^{\frac{3}{2}} x^{2}\,dx = \left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{\frac{3}{2}} = \frac{1}{3}\left(\frac{27}{8}\right) = \frac{9}{8}.
$$
第二个积分令 $u = x-3$，当 $x=\frac{3}{2}$ 时 $u = -\frac{3}{2}$，当 $x=3$ 时 $u=0$，
$$
\displaystyle\int_{\frac{3}{2}}^{3} (x-3)^{2}\,dx = \displaystyle\int_{-\frac{3}{2}}^{0} u^{2}\,du = \left[\frac{u^{3}}{3}\right]_{-\frac{3}{2}}^{0} = 0 - \frac{1}{3}\left(-\frac{27}{8}\right) = \frac{9}{8}.
$$
所以总面积
$$
S = \frac{9}{8} + \frac{9}{8} = \frac{9}{4}.
$$
因此，所求平面图形的面积为 $\displaystyle\frac{9}{4}$。
难度：★★☆☆☆