📝 题目
13．设 $|\boldsymbol{a}|=3,|\boldsymbol{b}|=2,(\widehat{\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}})=\frac{\pi}{3}$ ，求： （1）$(3 a+2 b) \cdot(2 a-5 b)$ ； （2）$|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
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**（1）计算 $(3\boldsymbol{a}+2\boldsymbol{b})\cdot(2\boldsymbol{a}-5\boldsymbol{b})$**
首先，由向量点积的分配律展开： $$ (3\boldsymbol{a}+2\boldsymbol{b})\cdot(2\boldsymbol{a}-5\boldsymbol{b}) = 3\boldsymbol{a}\cdot2\boldsymbol{a} + 3\boldsymbol{a}\cdot(-5\boldsymbol{b}) + 2\boldsymbol{b}\cdot2\boldsymbol{a} + 2\boldsymbol{b}\cdot(-5\boldsymbol{b}) $$ 化简各项系数： $$ = 6(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{a}) -15(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}) +4(\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{a}) -10(\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{b}) $$ 由于点积满足交换律 $\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b} = \boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{a}$，合并同类项： $$ = 6|\boldsymbol{a}|^2 -11(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}) -10|\boldsymbol{b}|^2 $$
已知 $|\boldsymbol{a}|=3$，$|\boldsymbol{b}|=2$，夹角 $\theta = \frac{\pi}{3}$，所以： $$ \boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b} = |\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\cos\theta = 3 \times 2 \times \cos\frac{\pi}{3} = 6 \times \frac{1}{2} = 3 $$
代入： $$ 6 \times 3^2 - 11 \times 3 - 10 \times 2^2 = 6\times 9 -33 -10\times 4 = 54 -33 -40 = -19 $$
因此： $$ \boxed{-19} $$
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**（2）计算 $|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|$**
利用模长公式： $$ |\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|^2 = (\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})\cdot(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}) = |\boldsymbol{a}|^2 + |\boldsymbol{b}|^2 - 2\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b} $$
代入已知数值： $$ = 3^2 + 2^2 - 2\times 3 = 9 + 4 - 6 = 7 $$
所以： $$ |\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}| = \sqrt{7} $$
因此： $$ \boxed{\sqrt{7}} $$
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**难度评级**：★☆☆☆☆ 本题仅涉及向量点积的基本运算与模长公式，计算简单，属于基础题。