第5章

5-1-1 📝 有解析

第5-1-1题

1．填空题． （1）已知点 $A(2,-1,1)$ ，则点 $A$ 与 $z$ 轴的距离是 $\_\_\_\_$ ，与 $y$ 轴的距离是 $\_\_\_\_$ ，与 $x$ 轴的距离是 $\_\_\_\_$。 （2）向 量 $\boldsymbol{a}=(-2,6,-3)$ 的模为 $|\boldsymbol{a}|=$ $\_\_\_\_$ ，方 向 余 弦 为 $\cos \alpha=$ $\_\_\_\_$ ， $\cos \beta=$ $\_\_\_\_$ ， $\cos \gamma=$ $\_\_\_\_$ ，与 $\boldsymbol{a}$ 同方向的单位向量 $\boldsymbol{e}_{a}=$ $\_\_\_\_$。 （3）设 $\alpha, \beta, \gamma$ 是向量 $\boldsymbol{a}$ 的三个方向角，则 $\sin ^{2} \alpha+\sin ^{2} \beta+\sin ^{2} \gamma=$ $\_\_\_\_$ ． （4）设向量 $\boldsymbol{a}=(2,-1,4)$ 与向量 $\boldsymbol{b}=(1, k, 2)$ 平行，则 $k=$ $\_\_\_\_$ ． （5）已知三点 $M_{1}(1,-2,3), M_{2}(1,1,4), M_{3}(2,0,2)$ ，则 $\overrightarrow{M_{1} M_{2}} \cdot \overrightarrow{M_{1} M_{3}} =$ $\_\_\_\_$ ， $\overrightarrow{M_{1} M_{2}} \times \overrightarrow{M_{1} M_{3}}=$ $\_\_\_\_$ ． （6）以点 $A(2,-1,-2) 、 B(0,2,1) 、 C(2,3,0)$ 为顶点，作平行四边形 $A B C D$ ，此平行四边形的面积等于 $\_\_\_\_$ ． （7）向量 $\boldsymbol{a}=(4,-3,1)$ 在 $\boldsymbol{b}=(2,1,2)$ 上的投影 $\operatorname{Prj}_{b} \boldsymbol{a}=$ $\_\_\_\_$ ， $\boldsymbol{b}$ 在 $\boldsymbol{a}$ 上的投影 $\operatorname{Prj}_{a} \boldsymbol{b}=$ $\_\_\_\_$ ． （8）设 $\boldsymbol{a}=(1,2,3), \boldsymbol{b}=(-2, k, 4)$ ，而 $\boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{b}$ ，则 $k=$ $\_\_\_\_$。

5-1-10 📝 有解析

第5-1-10题

10．设向量 $\boldsymbol{a}$ 与各坐标轴成相等的锐角，$|\boldsymbol{a}|=2 \sqrt{3}$ ，求向量 $\boldsymbol{a}$ 的坐标表达式．

5-1-11 📝 有解析

第5-1-11题

11．已知 $\boldsymbol{a}=(1,1,-4), \boldsymbol{b}=(1,-2,2)$ ，求： （1） $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}$ ；（2） $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 的夹角 $\theta$ ；（3） $\boldsymbol{a}$ 在 $\boldsymbol{b}$ 上的投影。

5-1-12 📝 有解析

第5-1-12题

12．已知两点 $M_{1}(2,2, \sqrt{2})$ 和 $M_{2}(1,3,0)$ ，计算向量 $\overrightarrow{M_{1} M_{2}}$ 的模、方向余弦和方向角．

5-1-13 📝 有解析

第5-1-13题

13．设 $|\boldsymbol{a}|=3,|\boldsymbol{b}|=2,(\widehat{\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}})=\frac{\pi}{3}$ ，求： （1）$(3 a+2 b) \cdot(2 a-5 b)$ ； （2）$|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|$ ．

5-1-14 📝 有解析

第5-1-14题

14．已知点 $A(1,-3,4), B(-2,1,-1), C(-3,-1,1)$ ，求： （1）$\angle A B C$ ；（2） $\overrightarrow{A B}$ 在 $\overrightarrow{A C}$ 上的投影．

5-1-15 📝 有解析

第5-1-15题

15．已知 $\boldsymbol{a}=(2,3,1), \boldsymbol{b}=(1,-2,1)$ ，求 $\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}$ 及 $\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{a}$ ．

5-1-16 📝 有解析

第5-1-16题

16．已知向量 $\boldsymbol{a}=(2,-3,1), \boldsymbol{b}=(1,-1,3), \boldsymbol{c}=(1,-2,0)$ ，求： （1）$(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}) \times(\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})$ ； （2）$(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}) \cdot \boldsymbol{c}$ ； （3）$(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}) \times \boldsymbol{c}$ ； （4）$(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}) \boldsymbol{c}-(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c}) \boldsymbol{b}$ ．

5-1-17 📝 有解析

第5-1-17题

17．求与 $\boldsymbol{a}=3 \boldsymbol{i}-2 \boldsymbol{j}+4 \boldsymbol{k}, \boldsymbol{b}=\boldsymbol{i}+\boldsymbol{j}-2 \boldsymbol{k}$ 都垂直的单位向量．

5-1-18 📝 有解析

第5-1-18题

18．已知空间四点 $A(-1,0,3), B(0,2,2), C(2,-2,-1), D(1,-1,1)$ ，求与 $\overrightarrow{A B} 、 \overrightarrow{C D}$ 都垂直的单位向量．

5-1-19 📝 有解析

第5-1-19题

19．设向量 $\boldsymbol{a}=2 \boldsymbol{i}+\boldsymbol{j}, \boldsymbol{b}=-\boldsymbol{i}+2 \boldsymbol{k}$ ，求以 $\boldsymbol{a} 、 \boldsymbol{b}$ 为邻边的平行四边形的面积．

5-1-2 📝 有解析

第5-1-2题

2．一向量与 $x$ 轴和 $y$ 轴的夹角相等，而与 $z$ 轴的夹角是与 $x$ 轴的夹角的两倍，求向量的方向角。

5-1-20 📝 有解析

第5-1-20题

20．求以点 $A(1,2,3) 、 B(0,0,1) 、 C(3,1,0)$ 为顶点的三角形的面积．

5-1-21 📝 有解析

第5-1-21题

21．设 $\boldsymbol{A}=2 \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}, \boldsymbol{B}=k \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$ ，其中 $|\boldsymbol{a}|=1,|\boldsymbol{b}|=2, \boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{b}$ ，问： （1）$k$ 为何值时， $\boldsymbol{A} \perp \boldsymbol{B}$ ？ （2）$k$ 为何值时，以 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 为邻边的平行四边形的面积为6？

5-1-22 📝 有解析

第5-1-22题

22．已知 $\boldsymbol{a}=2 \boldsymbol{m}+3 \boldsymbol{n}, \boldsymbol{b}=3 \boldsymbol{m}-\boldsymbol{n}, \boldsymbol{m} 、 \boldsymbol{n}$ 是两个互相垂直的单位向量，求： （1） $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}$ ；（2）$|\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}|$ ．

5-1-23 📝 有解析

第5-1-23题

23．设 $\boldsymbol{a} 、 \boldsymbol{b} 、 \boldsymbol{c}$ 满足 $\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}=\mathbf{0}$ ． （1）证明： $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}+\boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{c}+\boldsymbol{c} \cdot \boldsymbol{a}=-\frac{1}{2}\left(|\boldsymbol{a}|^{2}+|\boldsymbol{b}|^{2}+|\boldsymbol{c}|^{2}\right)$ ； （2）若还满足 $|\boldsymbol{a}|=3,|\boldsymbol{b}|=4,|\boldsymbol{c}|=5$ ，求 $|\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}+\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c}+\boldsymbol{c} \times \boldsymbol{a}|$ ．

5-1-24 📝 有解析

第5-1-24题

24．设 $\boldsymbol{a}+3 \boldsymbol{b}$ 与 $7 \boldsymbol{a}-5 \boldsymbol{b}$ 垂直， $\boldsymbol{a}-4 \boldsymbol{b}$ 与 $7 \boldsymbol{a}-2 \boldsymbol{b}$ 垂直，求 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 之间的夹角 $\theta$ ．

5-1-25 📝 有解析

第5-1-25题

25．试用向量方法证明三角形的余弦定理。

5-1-26 📝 有解析

第5-1-26题

26．利用向量积证明三角形正弦定理。

5-1-27 📝 有解析

第5-1-27题

27．已知向量 $\boldsymbol{a} \neq \mathbf{0}, \boldsymbol{b} \neq \mathbf{0}$ ，证明： $$ |\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}|^{2}=|\boldsymbol{a}|^{2} \cdot|\boldsymbol{b}|^{2}-(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b})^{2} . $$

5-1-28 📝 有解析

第5-1-28题

28．已知 $\boldsymbol{a} 、 \boldsymbol{b} 、 \boldsymbol{c}$ 两两垂直，且 $|\boldsymbol{a}|=1,|\boldsymbol{b}|=2,|\boldsymbol{c}|=3$ ，求 $\boldsymbol{s}=\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}$ 的长度及它和 $\boldsymbol{a} 、 \boldsymbol{b} 、 \boldsymbol{c}$ 的夹角．

5-1-29 📝 有解析

第5-1-29题

29．已知 $\boldsymbol{a}=(7,-4,-4), \boldsymbol{b}=(-2,-1,2)$ ，向量 $\boldsymbol{c}$ 在向量 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 的角平分线上，且 $|\boldsymbol{c}|=3 \sqrt{42}$ ，求 $\boldsymbol{c}$ 的坐标．

5-1-3 📝 有解析

第5-1-3题

3．给定 $M(-2,0,1), N(2,3,0)$ 两点，在 $O x$ 轴上有一点 $A$ ，满足 $|A M|=|A N|$ ，求点 $A$ 的坐标．

5-1-30 📝 有解析

第5-1-30题

30．设向量 $\boldsymbol{x}$ 与 $\boldsymbol{j}$ 成 $60^{\circ}$ ，与 $\boldsymbol{k}$ 成 $120^{\circ}$ ，且 $|\boldsymbol{x}|=5 \sqrt{2}$ ，求 $\boldsymbol{x}$ 。

5-1-4 📝 有解析

第5-1-4题

4．从点 $A(2,-1,7)$ 沿向量 $\boldsymbol{a}=(8,9,-12)$ 方向取长为 34 的线段 $A B$ ，求点 $B$ 的坐标。

5-1-5 📝 有解析

第5-1-5题

5．设点 $P$ 在 $y$ 轴上，它到点 $P_{1}(\sqrt{2}, 0,3)$ 的距离为到点 $P_{2}(1,0,-1)$ 的距离的两倍，求点 $P$ 的坐标。

5-1-6 📝 有解析

第5-1-6题

6．设点 $A$ 位于第 I 卦限，向径 $\overrightarrow{O A}$ 与 $x$ 轴、 $y$ 轴的夹角依次为 $\frac{\pi}{3}$ 和 $\frac{\pi}{4}$ ，且 $|\overrightarrow{O A}|=6$ ，求点 $A$ 的坐标．

5-1-7 📝 有解析

第5-1-7题

7．证明： $\operatorname{Prj}_{u}(\lambda \boldsymbol{a})=\lambda \operatorname{Prj}_{u} \boldsymbol{a}$ ．

5-1-8 📝 有解析

第5-1-8题

8．记 $\boldsymbol{e}_{a}$ 为非零向量 $\boldsymbol{a}$ 的同向单位向量，证明： $\boldsymbol{e}_{a}=\frac{\boldsymbol{a}}{|\boldsymbol{a}|}$ ．

5-1-9 📝 有解析

第5-1-9题

9．求平行于向量 $\boldsymbol{a}=6 \boldsymbol{i}+7 \boldsymbol{j}-6 \boldsymbol{k}$ 的单位向量．

5-2-1 📝 有解析

第5-2-1题

1．填空题。 （1）过原点且与向量 $\boldsymbol{a}=(3,1,-1)$ 垂直的平面方程为 $\_\_\_\_$ ． （2）平面 $x+2 y+k z+1=0$ 与向量 $\boldsymbol{a}=(1,2,1)$ 垂直，则 $k=$ $\_\_\_\_$。 （3）过点 $M(2,0,-1)$ ，且与向量 $\boldsymbol{a}=(2,1,-1) 、 \boldsymbol{b}=(3,0,4)$ 平行的平面方程 为 $\_\_\_\_$。

5-2-10 📝 有解析

第5-2-10题

10．求平行于平面 $6 x+y+6 z+5=0$ 且与三个坐标面所围成的四面体体积为一个单位的平面方程．

5-2-11 📝 有解析

第5-2-11题

11．若平面 $x+k y-2 z=0$ 与平面 $2 x-3 y+z=0$ 的夹角为 $\frac{\pi}{4}$ ，求 $k$ 的值．

5-2-12 📝 有解析

第5-2-12题

12．求经过两点 $M_{1}(3,-2,9)$ 和 $M_{2}(-6,0,-4)$ 且与平面 $2 x-y+4 z-8=0$ 垂直的平面的方程。

5-2-13 📝 有解析

第5-2-13题

13．求平面 $5 x-14 y+2 z-8=0$ 和 $x O y$ 面的夹角．

5-2-14 📝 有解析

第5-2-14题

14．求通过 $z$ 轴且与平面 $2 x+y-\sqrt{5} z-7=0$ 的夹角为 $\frac{\pi}{3}$ 的平面的方程．

5-2-15 📝 有解析

第5-2-15题

15．推导两平行平面 $A x+B y+C z+D_{i}=0, i=1,2$ 之间的距离公式；并求将两平行平面 $x-2 y+z-2=0$ 与 $x-2 y+z-6=0$ 之间距离分成 $1: 3$ 的平面方程。

5-2-16 📝 有解析

第5-2-16题

16．证明：过不在一直线上三点 $\left(x_{i}, y_{i}, z_{i}\right), i=1,2,3$ 的平面方程为 $$ \left|\begin{array}{ccc} x-x_{1} & y-y_{1} & z-z_{1} \\ x_{2}-x_{1} & y_{2}-y_{1} & z_{2}-z_{1} \\ x_{3}-x_{1} & y_{3}-y_{1} & z_{3}-z_{1} \end{array}\right|=0, $$ 并写出过 $(1,1,-1),(-2,-2,2),(1,-1,2)$ 三点的平面方程．

5-2-2 📝 有解析

第5-2-2题

2．指出下列平面位置的特点，并画出各平面． （1） $2 x+z+1=0$ ； （2）$y-z=0$ ； （3）$x+2 y-z=0$ ； （4） $9 y-1=0$ ； （5）$x=0$ ； （6） $2 x+z=0$ ．

5-2-3 📝 有解析

第5-2-3题

3．求满足下列条件的平面方程。 （1）过点 $M(1,1,1)$ 且与平面 $3 x-y+2 z-1=0$ 平行； （2）过点 $M(1,2,1)$ 且同时与平面 $x+y-2 z+1=0$ 和 $2 x-y+z=0$ 垂直； （3）与 $x 、 y 、 z$ 轴的交点分别为 $(2,0,0),(0,-3,0)$ 和 $(0,0,-1)$ ； （4）平行于 $x$ 轴且经过点 $(1,2,-1)$ ； （5）垂直于两平面 $x-y+z-1=0,2 x+y+z+1=0$ 且通过点 $(1,-1,1)$ ； （6）平行于向量 $\boldsymbol{a}=(2,1,-1)$ 且在 $x$ 轴、 $y$ 轴上的截距依次为 3 和 -2 。

5-2-4 📝 有解析

第5-2-4题

4．求经过两点 $(4,0,-2)$ 和 $(5,1,7)$ 且与 $x$ 轴平行的平面方程．

5-2-5 📝 有解析

第5-2-5题

5．求过点 $A(1,1,-1)$ 和原点且与平面 $4 x+3 y+z=1$ 垂直的平面方程．

5-2-6 📝 有解析

第5-2-6题

6．求过 $z$ 轴和点 $M(-3,1,2)$ 的平面方程．

5-2-7 📝 有解析

第5-2-7题

7．求过三点 $A(2,3,0) 、 B(-2,-3,4)$ 和 $C(0,6,0)$ 的平面方程．

5-2-8 📝 有解析

第5-2-8题

8．一平面过点 $A(1,-4,5)$ 且在各坐标轴上的截距相等，求它的方程．

5-2-9 📝 有解析

第5-2-9题

9．设平面过原点及点 $(6,-3,2)$ 且与平面 $4 x-y+2 z=8$ 垂直，求此平面方程．

5-3-1 📝 有解析

第5-3-1题

1．求满足下列条件的直线方程． （1）过点 $(2,-1,4)$ 且与直线 $\frac{x-1}{3}=\frac{y}{-1}=\frac{z+1}{2}$ 平行； （2）过点 $(2,-3,5)$ 且与平面 $9 x-4 y+2 z-1=0$ 垂直； （3）过点 $(3,4,-4)$ 和 $(3,-2,2)$ ．

5-3-10 📝 有解析

第5-3-10题

10．求过直线 $\frac{x-2}{5}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{4}$ 且与平面 $x+4 y-3 z+7=0$ 垂直的平面方程．

5-3-11 📝 有解析

第5-3-11题

11．已知直线过点 $A(2,-3,4)$ 且和 $y$ 轴垂直相交，求该直线方程．

5-3-12 📝 有解析

第5-3-12题

12．求过点 $(0,2,4)$ 且与直线 $\left\{\begin{array}{l}x+2 z=1 \text { ，平行的直线．} \\ y-3 z=2\end{array}\right.$ ．

5-3-13 📝 有解析

第5-3-13题

13．求点 $P_{0}(2,3,1)$ 在直线 $l: \frac{x+7}{1}=\frac{y+2}{2}=\frac{z+2}{3}$ 上的投影．

5-3-14 📝 有解析

第5-3-14题

14．求点 $P_{0}(3,-1,-1)$ 在平面 $\Pi: x+2 y+3 z-40=0$ 上的投影．

5-3-15 📝 有解析

第5-3-15题

15．求过点 $A(1,0,-2)$ ，且与平面 $\Pi: 3 x-y+2 z+3=0$ 平行，并与直线 $l_{1}: \frac{x-1}{4} =\frac{y-3}{-2}=\frac{z}{1}$ 相交的直线 $l$ 的方程．

5-3-16 📝 有解析

第5-3-16题

16．分别求过直线 $l:\left\{\begin{array}{l}2 x-3 y+4 z-12=0, \\ x+4 y-2 z-10=0\end{array}\right.$ 且垂直于各坐标面的平面方程，并求直线 $l$ 在平面 $3 x+2 y+z-10=0$ 上的投影．

5-3-17 📝 有解析

第5-3-17题

17．过点 $M_{1}(7,3,5)$ 引方向余弦等于 $\frac{1}{3} 、 \frac{2}{3} 、 \frac{2}{3}$ 的直线 $l_{1}$ ，设直线 $l$ 过点 $M_{0}(2,-3,-1)$ ，与直线 $l_{1}$ 相交且和 $x$ 轴成 $\frac{\pi}{3}$ 角，求直线 $l$ 的方程．

5-3-18 📝 有解析

第5-3-18题

18．求通过点（2，1，3）且与直线 $\frac{x+1}{3}=\frac{y-1}{2}=\frac{z}{-1}$ 垂直相交的直线方程．

5-3-19 📝 有解析

第5-3-19题

19．求证：两直线 $l_{1}: \frac{x-x_{1}}{m_{1}}=\frac{y-y_{1}}{n_{1}}=\frac{z-z_{1}}{p_{1}}, l_{2}: \frac{x-x_{2}}{m_{2}}=\frac{y-y_{2}}{n_{2}}=\frac{z-z_{2}}{p_{2}}$ 在同一平面上的条件为 $\left|\begin{array}{ccc}x_{2}-x_{1} & y_{2}-y_{1} & z_{2}-z_{1} \\ m_{1} & n_{1} & p_{1} \\ m_{2} & n_{2} & p_{2}\end{array}\right|=0$ ．

5-3-2 📝 有解析

第5-3-2题

2．求过点（1，1，1）且同时与平面 $2 x-y-3 z=0$ 和 $x+2 y-5 z=1$ 平行的直线方程．

5-3-20 📝 有解析

第5-3-20题

20．一直线过点 $(1,2,1)$ ，又与直线 $\frac{x}{2}=y=-z$ 相交，且垂直于直线 $\frac{x-1}{3}=\frac{y}{2}=\frac{z+1}{1}$ ，求该直线方程．

5-3-21 📝 有解析

第5-3-21题

21．一直线 $l$ 过点 $A(-3,5,-9)$ 且与两直线 $l_{1}:\left\{\begin{array}{l}y=3 x+5, \\ z=2 x-3,\end{array} l_{2}:\left\{\begin{array}{l}y=4 x-7, \\ z=5 x+10\end{array}\right.\right.$ 相交，求此直线方程．

5-3-3 📝 有解析

第5-3-3题

3．用点向式方程及参数方程表示直线 $\left\{\begin{array}{l}x+2 y-z-6=0, \\ 2 x-y+z-1=0 .\end{array}\right.$

5-3-4 📝 有解析

第5-3-4题

4．求过点 $(1,0,-2)$ 且与平面 $3 x+4 y-z+6=0$ 平行，又与直线 $\frac{x-3}{1}=\frac{y+2}{4}=\frac{z}{1}$垂直的直线方程．

5-3-5 📝 有解析

第5-3-5题

5．确定下列各组中的直线和平面间的位置关系． （1）$\frac{x-3}{-2}=\frac{y+4}{-7}=\frac{z}{3}$ 和 $4 x-2 y-2 z=3$ ； （2）$\frac{x}{3}=\frac{y}{-2}=\frac{z}{7}$ 和 $3 x-2 y+7 z=8$ ； （3）$\frac{x-2}{3}=\frac{y+2}{1}=\frac{z-3}{-4}$ 和 $x+y+z=3$ ．

5-3-6 📝 有解析

第5-3-6题

6．求直线 $\left\{\begin{array}{l}x+y+3 z=0, \\ x-y-z=0\end{array}\right.$ 和平面 $x-y-z+1=0$ 的夹角．

5-3-7 📝 有解析

第5-3-7题

7．求点 $(1,2,1)$ 到平面 $x+2 y+2 z-10=0$ 的距离．

5-3-8 📝 有解析

第5-3-8题

8．求直线 $\left\{\begin{array}{l}2 x-4 y+z=0, \\ 3 x-y-2 z-9=0\end{array}\right.$ 在平面 $4 x-y+z=1$ 的投影直线方程．

5-3-9 📝 有解析

第5-3-9题

9．求过点 $M(3,1,-2)$ 及直线 $\frac{x-4}{5}=\frac{y+3}{2}=\frac{z}{1}$ 的平面方程．

5-3-*22 📝 有解析

第5-3-*22题

＊22．设直线 $l: \frac{x-x_{0}}{m}=\frac{y-y_{0}}{n}=\frac{z-z_{0}}{p}$ ，其中 $\boldsymbol{s}=(m, n, p), M_{0}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ ，直线 $l$外一点为 $M_{1}\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right)$ ，证明：点 $M_{1}$ 到直线 $l$ 的距离为 $d=\frac{\left|\overrightarrow{M_{1} M_{0}} \times \boldsymbol{s}\right|}{|\boldsymbol{s}|}$ ．

5-3-*23 📝 有解析

第5-3-*23题

＊23．设直线 $l_{1}: \frac{x-x_{1}}{m_{1}}=\frac{y-y_{1}}{n_{1}}=\frac{z-z_{1}}{p_{1}}$ ，其中 $\boldsymbol{s}_{1}=\left(m_{1}, n_{1}, p_{1}\right), M_{1}\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right)$ ，直线 $l_{2}: \frac{x-x_{2}}{m_{2}}=\frac{y-y_{2}}{n_{2}}=\frac{z-z_{2}}{p_{2}}$ ，其中 $\boldsymbol{s}_{2}=\left(m_{2}, n_{2}, p_{2}\right), M_{2}\left(x_{2}, y_{2}, z_{2}\right)$ ，证明：异面直线 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 之间的距离为 $d=\frac{\left|\overrightarrow{M_{1} M_{2}} \cdot\left(\boldsymbol{s}_{1} \times \boldsymbol{s}_{2}\right)\right|}{\left|\boldsymbol{s}_{1} \times \boldsymbol{s}_{2}\right|}$ ．

5-3-*24 📝 有解析

第5-3-*24题

＊24．设直线 $l_{1}: \frac{x-9}{4}=\frac{y+2}{-3}=\frac{z}{1}$ ，直线 $l_{2}: \frac{x}{-2}=\frac{y+7}{9}=\frac{z-7}{2}$ ，试求： （1）直线 $l_{1} 、 l_{2}$ 之间的距离； （2）直线 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的公垂线方程．

5-4-1 📝 有解析

第5-4-1题

1．填空题． （1）球 面 $2 x^{2}+2 y^{2}+2 z^{2}-z=0$ 的球 心为 $\_\_\_\_$ ，半径为 $\_\_\_\_$。 （2）母线平行于 $y$ 轴，准线为 $\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}+z^{2}=9 \\ y=1\end{array}\right.$ 的柱面方程为 $\_\_\_\_$ ． （3）$y O z$ 面上的曲线 $2 y^{2}+z=1$ 绕 $z$ 轴旋转一周所形成的曲面方程为 $\_\_\_\_$。 （4）曲线 $\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}+z^{2}=25 \\ x^{2}+y^{2}=4\end{array}\right.$ 在 $x O y$ 面上的投影柱面方程是 $\_\_\_\_$ .

5-4-10 📝 有解析

第5-4-10题

10．化曲线的一般方程 $\left\{\begin{array}{l}x^{2}+(y-2)^{2}+(z+1)^{2}=8 \text { ，为参数方程．} \\ x=2\end{array}\right.$ ．

5-4-11 📝 有解析

第5-4-11题

11．化曲线的参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=4 \cos t, \\ y=3 \sin t, \\ z=2 \sin t\end{array}\right.$ 为一般方程．

5-4-12 📝 有解析

第5-4-12题

12．求曲线 $\left\{\begin{array}{l}2 y^{2}+z^{2}+4 x=4 z, \\ y^{2}+3 z^{2}-8 x=12 z\end{array}\right.$ 在三个坐标面上的投影．

5-4-13 📝 有解析

第5-4-13题

13．求曲线 $\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}+z^{2}=3, \\ x^{2}+y^{2}=2 z\end{array}\right.$ 在 $x O y$ 面上的投影．

5-4-14 📝 有解析

第5-4-14题

14．已知空间曲线（两球面的交线）$\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}+z^{2}=1, \\ x^{2}+(y-1)^{2}+(z-1)^{2}=1,\end{array}\right.$ 求它在 $x O y$ 面上的投影曲线方程．

5-4-15 📝 有解析

第5-4-15题

15．求曲线 $\left\{\begin{array}{l}(x+2)^{2}-z^{2}=4, \\ (x-2)^{2}+y^{2}=4\end{array}\right.$ 在 $y O z$ 面上的投影．

5-4-16 📝 有解析

第5-4-16题

16．设一个立体，由上半球面 $z=\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}$ 和上半雉面 $z=\sqrt{3\left(x^{2}+y^{2}\right)}$ 所围成，求它在 $x O y$ 面上的投影。

5-4-17 📝 有解析

第5-4-17题

17．证明曲线 $\left\{\begin{array}{l}4 x-5 y-10 z-20=0, \\ \frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}-\frac{z^{2}}{4}=1\end{array}\right.$ 是两条直线． \begin{tabular}{|l|l|} \hline 向量及其性质 & \begin{tabular}{l} 会计算二阶、三阶行列式 \\ 理解空间直角坐标系 \\ 理解向量的概念及其表示 \\ 掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积、混合积） \\ 掌握两个向量垂直、平行的条件 \\ 掌握单位向量、方向余弦、向量的坐标表达式以及用坐标表达式进行向量运算的方法 \end{tabular} \\ \hline 平面与直线 & \begin{tabular}{l} 掌握平面的方程及其求法 \\ 掌握直线的方程及其求法 \\ 会利用平面、直线的相互关系解决有关问题 \end{tabular} \\ \hline 曲面与曲线 & \begin{tabular}{l} 理解曲面方程的概念 \\ 了解常用二次曲面的方程及其图形 \\ 了解以坐标轴为旋转轴的旋转曲面 \\ 了解母线平行于坐标轴的柱面方程 \\ 了解空间曲线的参数方程和一般方程 \\ 了解曲面的交线在坐标平面上的投影 \end{tabular} \\ \hline \end{tabular}

5-4-2 📝 有解析

第5-4-2题

2．已知球面的一条直径的两个端点是 $(2,-3,5)$ 和 $(4,1,-3)$ ，写出球面方程．

5-4-3 📝 有解析

第5-4-3题

3．方程 $x^{2}+y^{2}+z^{2}-2 x+4 y+2 z=0$ 表示什么曲面？

5-4-4 📝 有解析

第5-4-4题

4．指出下列方程表示什么曲面，并作出它们的草图。 （1）$\left(x-\frac{a}{2}\right)^{2}+y^{2}=\left(\frac{a}{2}\right)^{2}$ ； （2）$y=2 x^{2}$ ； （3）$x^{2}-y^{2}=1$ ； （4）$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1$ ； （5）$x-y=0$ ； （6）$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}+\frac{z^{2}}{25}=1$ ； （7）$\frac{z}{3}=\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}$ ； （8） $4 x^{2}+9 y^{2}=-z$ ．

5-4-5 📝 有解析

第5-4-5题

5．把 $z O x$ 面上的抛物线 $z=x^{2}+1$ 绕 $z$ 轴旋转一周，求所形成的旋转曲面方程。

5-4-6 📝 有解析

第5-4-6题

6．把 $x O y$ 面上的直线 $x+y=1$ 绕 $y$ 轴旋转一周，求所形成的旋转曲面方程。

5-4-7 📝 有解析

第5-4-7题

7．把 $y O z$ 面上的双曲线 $y^{2}-z^{2}=1$ 分别绕 $z$ 轴及 $y$ 轴旋转一周，求所形成的旋转曲面方程。

5-4-8 📝 有解析

第5-4-8题

8．指出下列方程表示的曲面名称，如果是旋转曲面，说明它们是怎样形成的． （1）$x^{2}+2 y^{2}+3 z^{2}=1$ ； （2） $2 z=x^{2}+y^{2}$ ； （3）$z=1-\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ ； （4） $9 x^{2}+y^{2}+z^{2}=36$ ； （5）$x^{2}+y^{2}+z^{2}=2 z$ ； （6）$z=2 x^{2}$ ．

5-4-9 📝 有解析

第5-4-9题

9．指出下列方程组表示什么曲线。 （1）$\left\{\begin{array}{l}4 x^{2}+9 y^{2}+z^{2}=37, \\ z=1 ;\end{array}\right.$ （2）$\left\{\begin{array}{l}z=x^{2}+y^{2}, \\ y=1 .\end{array}\right.$