📝 题目
11．已知 $\boldsymbol{a}=(1,1,-4), \boldsymbol{b}=(1,-2,2)$ ，求： （1） $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}$ ；（2） $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 的夹角 $\theta$ ；（3） $\boldsymbol{a}$ 在 $\boldsymbol{b}$ 上的投影。
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 已知向量 $$ \boldsymbol{a}=(1,1,-4),\quad \boldsymbol{b}=(1,-2,2) $$
**（1）求数量积** $$ \boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=1\times1+1\times(-2)+(-4)\times2=1-2-8=-9 $$
**（2）求夹角 $\theta$** 先计算模长： $$ |\boldsymbol{a}|=\sqrt{1^2+1^2+(-4)^2}=\sqrt{1+1+16}=\sqrt{18}=3\sqrt{2} $$ $$ |\boldsymbol{b}|=\sqrt{1^2+(-2)^2+2^2}=\sqrt{1+4+4}=\sqrt{9}=3 $$ 由数量积公式： $$ \cos\theta=\frac{\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|}=\frac{-9}{3\sqrt{2}\times3}=\frac{-9}{9\sqrt{2}}=-\frac{1}{\sqrt{2}} $$ 因此 $$ \theta=\arccos\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=\frac{3\pi}{4} $$
**（3）求 $\boldsymbol{a}$ 在 $\boldsymbol{b}$ 上的投影** 投影公式为 $$ \text{Proj}_{\boldsymbol{b}}\boldsymbol{a}=\frac{\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{b}|}=\frac{-9}{3}=-3 $$ 负号表示投影方向与 $\boldsymbol{b}$ 相反。
**难度评级**：★☆☆☆☆ （直接套用向量点积、模长、夹角与投影公式，计算简单，无复杂技巧。）