📝 题目
10．设向量 $\boldsymbol{a}$ 与各坐标轴成相等的锐角，$|\boldsymbol{a}|=2 \sqrt{3}$ ，求向量 $\boldsymbol{a}$ 的坐标表达式．
💡 答案与解析
[AI解答]
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设向量 $\boldsymbol{a}$ 与三个坐标轴 $x, y, z$ 正方向的夹角分别为 $\alpha, \beta, \gamma$。 由题意，这些夹角相等且均为锐角，故 $$ \alpha = \beta = \gamma = \theta, \quad 0 < \theta < \frac{\pi}{2}. $$
方向余弦满足关系： $$ \cos^2\alpha + \cos^2\beta + \cos^2\gamma = 1. $$ 代入 $\alpha = \beta = \gamma = \theta$ 得： $$ 3\cos^2\theta = 1 \quad\Rightarrow\quad \cos^2\theta = \frac{1}{3}. $$ 由于 $\theta$ 是锐角，$\cos\theta > 0$，所以 $$ \cos\theta = \frac{1}{\sqrt{3}}. $$
因此方向余弦为： $$ (\cos\alpha, \cos\beta, \cos\gamma) = \left( \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}} \right). $$
已知向量 $\boldsymbol{a}$ 的模为 $|\boldsymbol{a}| = 2\sqrt{3}$，则其坐标表达式为： $$ \boldsymbol{a} = |\boldsymbol{a}| (\cos\alpha, \cos\beta, \cos\gamma) = 2\sqrt{3} \left( \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}} \right) = (2, 2, 2). $$
因此，向量 $\boldsymbol{a}$ 的坐标表达式为： $$ \boxed{(2, 2, 2)} $$
难度：★☆☆☆☆