📝 题目
1．填空题． （1）已知点 $A(2,-1,1)$ ，则点 $A$ 与 $z$ 轴的距离是 $\_\_\_\_$ ，与 $y$ 轴的距离是 $\_\_\_\_$ ，与 $x$ 轴的距离是 $\_\_\_\_$。 （2）向 量 $\boldsymbol{a}=(-2,6,-3)$ 的模为 $|\boldsymbol{a}|=$ $\_\_\_\_$ ，方 向 余 弦 为 $\cos \alpha=$ $\_\_\_\_$ ， $\cos \beta=$ $\_\_\_\_$ ， $\cos \gamma=$ $\_\_\_\_$ ，与 $\boldsymbol{a}$ 同方向的单位向量 $\boldsymbol{e}_{a}=$ $\_\_\_\_$。 （3）设 $\alpha, \beta, \gamma$ 是向量 $\boldsymbol{a}$ 的三个方向角，则 $\sin ^{2} \alpha+\sin ^{2} \beta+\sin ^{2} \gamma=$ $\_\_\_\_$ ． （4）设向量 $\boldsymbol{a}=(2,-1,4)$ 与向量 $\boldsymbol{b}=(1, k, 2)$ 平行，则 $k=$ $\_\_\_\_$ ． （5）已知三点 $M_{1}(1,-2,3), M_{2}(1,1,4), M_{3}(2,0,2)$ ，则 $\overrightarrow{M_{1} M_{2}} \cdot \overrightarrow{M_{1} M_{3}} =$ $\_\_\_\_$ ， $\overrightarrow{M_{1} M_{2}} \times \overrightarrow{M_{1} M_{3}}=$ $\_\_\_\_$ ． （6）以点 $A(2,-1,-2) 、 B(0,2,1) 、 C(2,3,0)$ 为顶点，作平行四边形 $A B C D$ ，此平行四边形的面积等于 $\_\_\_\_$ ． （7）向量 $\boldsymbol{a}=(4,-3,1)$ 在 $\boldsymbol{b}=(2,1,2)$ 上的投影 $\operatorname{Prj}_{b} \boldsymbol{a}=$ $\_\_\_\_$ ， $\boldsymbol{b}$ 在 $\boldsymbol{a}$ 上的投影 $\operatorname{Prj}_{a} \boldsymbol{b}=$ $\_\_\_\_$ ． （8）设 $\boldsymbol{a}=(1,2,3), \boldsymbol{b}=(-2, k, 4)$ ，而 $\boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{b}$ ，则 $k=$ $\_\_\_\_$。
💡 答案与解析
[AI解答]
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**习题5-1 填空题解答**
**(1)** 已知点 $A(2,-1,1)$。 - 到 $z$ 轴的距离：即点 $A$ 到 $z$ 轴上任一点 $(0,0,z)$ 的最小距离，等价于 $\sqrt{x^2+y^2}$。 $$ \sqrt{2^2+(-1)^2} = \sqrt{4+1} = \sqrt{5} $$ - 到 $y$ 轴的距离：$\sqrt{x^2+z^2} = \sqrt{2^2+1^2} = \sqrt{5}$。 - 到 $x$ 轴的距离：$\sqrt{y^2+z^2} = \sqrt{(-1)^2+1^2} = \sqrt{2}$。
答案：$\sqrt{5},\ \sqrt{5},\ \sqrt{2}$
**(2)** 向量 $\boldsymbol{a}=(-2,6,-3)$。 模： $$ |\boldsymbol{a}| = \sqrt{(-2)^2+6^2+(-3)^2} = \sqrt{4+36+9} = \sqrt{49}=7 $$ 方向余弦： $$ \cos\alpha = \frac{-2}{7},\quad \cos\beta = \frac{6}{7},\quad \cos\gamma = \frac{-3}{7} $$ 同方向单位向量： $$ \boldsymbol{e}_a = \left( -\frac{2}{7},\ \frac{6}{7},\ -\frac{3}{7} \right) $$
答案：$7,\ -\frac{2}{7},\ \frac{6}{7},\ -\frac{3}{7},\ \left( -\frac{2}{7},\frac{6}{7},-\frac{3}{7} \right)$
**(3)** 由方向余弦性质： $$ \cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma = 1 $$ 则： $$ \sin^2\alpha+\sin^2\beta+\sin^2\gamma = (1-\cos^2\alpha)+(1-\cos^2\beta)+(1-\cos^2\gamma) = 3-1 = 2 $$
答案：$2$
**(4)** 向量平行对应坐标成比例： $$ \frac{2}{1} = \frac{-1}{k} = \frac{4}{2} $$ 由 $\frac{2}{1}=2$，得 $\frac{-1}{k}=2 \Rightarrow k = -\frac{1}{2}$。
答案：$-\frac{1}{2}$
**(5)** 计算向量： $$ \overrightarrow{M_1M_2} = (1-1,\ 1-(-2),\ 4-3) = (0,3,1) $$ $$ \overrightarrow{M_1M_3} = (2-1,\ 0-(-2),\ 2-3) = (1,2,-1) $$ 点积： $$ (0,3,1)\cdot(1,2,-1) = 0\cdot1+3\cdot2+1\cdot(-1) = 6-1 = 5 $$ 叉积： $$ \overrightarrow{M_1M_2}\times\overrightarrow{M_1M_3} = \begin{vmatrix} \boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k} \\ 0 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \end{vmatrix} = \boldsymbol{i}(3\cdot(-1)-1\cdot2) - \boldsymbol{j}(0\cdot(-1)-1\cdot1) + \boldsymbol{k}(0\cdot2-3\cdot1) $$ $$ = \boldsymbol{i}(-3-2) - \boldsymbol{j}(0-1) + \boldsymbol{k}(0-3) = (-5,1,-3) $$
答案：$5,\ (-5,1,-3)$
**(6)** 取 $A(2,-1,-2), B(0,2,1), C(2,3,0)$，则： $$ \overrightarrow{AB} = (-2,3,3),\quad \overrightarrow{AC} = (0,4,2) $$ 平行四边形面积： $$ S = |\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}| $$ 计算叉积： $$ \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k} \\ -2 & 3 & 3 \\ 0 & 4 & 2 \end{vmatrix} = \boldsymbol{i}(3\cdot2-3\cdot4) - \boldsymbol{j}((-2)\cdot2-3\cdot0) + \boldsymbol{k}((-2)\cdot4-3\cdot0) $$ $$ = \boldsymbol{i}(6-12) - \boldsymbol{j}(-4-0) + \boldsymbol{k}(-8-0) = (-6,4,-8) $$ 模： $$ \sqrt{(-6)^2+4^2+(-8)^2} = \sqrt{36+16+64} = \sqrt{116} = 2\sqrt{29} $$
答案：$2\sqrt{29}$
**(7)** 向量 $\boldsymbol{a}=(4,-3,1),\ \boldsymbol{b}=(2,1,2)$。 投影公式： $$ \operatorname{Prj}_{\boldsymbol{b}}\boldsymbol{a} = \frac{\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{b}|} $$ 点积： $$ 4\cdot2 + (-3)\cdot1 + 1\cdot2 = 8-3+2 = 7 $$ 模： $$ |\boldsymbol{b}| = \sqrt{4+1+4} = 3 $$ 所以： $$ \operatorname{Prj}_{\boldsymbol{b}}\boldsymbol{a} = \frac{7}{3} $$ 同理： $$ \operatorname{Prj}_{\boldsymbol{a}}\boldsymbol{b} = \frac{\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{a}|} = \frac{7}{\sqrt{16+9+1}} = \frac{7}{\sqrt{26}} $$
答案：$\frac{7}{3},\ \frac{7}{\sqrt{26}}$
**(8)** 垂直条件：点积为零。 $$ \boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b} = 1\cdot(-2) + 2\cdot k + 3\cdot4 = -2 + 2k + 12 = 2k+10 = 0 $$ 解得： $$ k = -5 $$
答案：$-5$
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**难度评级**：★☆☆☆☆