📝 题目
6．把 $x O y$ 面上的直线 $x+y=1$ 绕 $y$ 轴旋转一周，求所形成的旋转曲面方程。
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 已知直线在 $xOy$ 平面上的方程为 $$ x + y = 1 $$ 该直线绕 $y$ 轴旋转，旋转过程中，直线上任意一点 $(x_0, y_0, 0)$ 满足 $$ x_0 + y_0 = 1 $$ 当绕 $y$ 轴旋转时，该点形成的轨迹是一个圆，圆心在 $(0, y_0, 0)$，半径为 $|x_0|$。
因此，对于旋转后曲面上的任意一点 $(x, y, z)$，它到 $y$ 轴的距离平方为 $$ x^2 + z^2 $$ 而该距离必须等于原点到直线上对应点的水平距离 $|x_0|$，并且 $y = y_0$ 保持不变。由直线方程可得 $$ x_0 = 1 - y_0 = 1 - y $$ 因此旋转曲面的方程为 $$ x^2 + z^2 = (1 - y)^2 $$ 即 $$ x^2 + z^2 = (1 - y)^2 $$ 这是一个以 $y$ 轴为旋转轴的旋转抛物面（实际上是圆锥面的一种退化形式，因为母线是直线）。
难度：★★☆☆☆