📝 题目
5．把 $z O x$ 面上的抛物线 $z=x^{2}+1$ 绕 $z$ 轴旋转一周，求所形成的旋转曲面方程。
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 我们考虑在 $zOx$ 平面上的抛物线： $$ z = x^{2} + 1 $$ 该曲线绕 $z$ 轴旋转，意味着在旋转过程中，每个点 $(x,0,z)$ 会生成一个垂直于 $z$ 轴的圆，圆半径为原点到 $z$ 轴的距离，即 $|x|$。
因此，对于旋转后的曲面上的任意一点 $(x,y,z)$，它到 $z$ 轴的距离为 $$ \sqrt{x^{2} + y^{2}} $$ 这个距离应当等于原抛物线上对应点的 $|x|$ 坐标，而原抛物线方程中的 $x^{2}$ 正好是距离的平方。
于是，将原方程中的 $x^{2}$ 替换为 $x^{2}+y^{2}$，得到旋转曲面方程： $$ z = (x^{2} + y^{2}) + 1 $$ 即 $$ \boxed{z = x^{2} + y^{2} + 1} $$
此曲面是一个开口向上的旋转抛物面，顶点在 $(0,0,1)$。
难度：★☆☆☆☆