📝 题目
4．指出下列方程表示什么曲面，并作出它们的草图。 （1）$\left(x-\frac{a}{2}\right)^{2}+y^{2}=\left(\frac{a}{2}\right)^{2}$ ； （2）$y=2 x^{2}$ ； （3）$x^{2}-y^{2}=1$ ； （4）$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1$ ； （5）$x-y=0$ ； （6）$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}+\frac{z^{2}}{25}=1$ ； （7）$\frac{z}{3}=\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}$ ； （8） $4 x^{2}+9 y^{2}=-z$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
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以下是对各方程所表示曲面的判断及简要说明（草图需读者自行绘制，这里给出几何特征描述）。
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（1）$\left(x-\frac{a}{2}\right)^{2}+y^{2}=\left(\frac{a}{2}\right)^{2}$ 这是圆心在 $\left(\frac{a}{2},0\right)$、半径为 $\frac{a}{2}$ 的圆方程。在三维空间中，缺少 $z$ 变量，因此表示**圆柱面**，母线平行于 $z$ 轴。 难度：★☆☆☆☆
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（2）$y = 2x^{2}$ 在 $xy$ 平面内是一条抛物线；在空间中缺少 $z$，因此表示**抛物柱面**，母线平行于 $z$ 轴。 难度：★☆☆☆☆
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（3）$x^{2} - y^{2} = 1$ 在 $xy$ 平面内是双曲线；在空间中缺少 $z$，因此表示**双曲柱面**，母线平行于 $z$ 轴。 难度：★☆☆☆☆
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（4）$\displaystyle{\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{9} = 1}$ 在 $xy$ 平面内是椭圆；在空间中缺少 $z$，因此表示**椭圆柱面**，母线平行于 $z$ 轴。 难度：★☆☆☆☆
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（5）$x - y = 0$ 即 $y = x$，在 $xy$ 平面内是一条直线；在空间中缺少 $z$，因此表示**平面**（过 $z$ 轴且与 $xy$ 平面交线为 $y=x$）。 难度：★☆☆☆☆
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（6）$\displaystyle{\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{9} + \frac{z^{2}}{25} = 1}$ 这是标准的三轴椭球面，半轴长分别为 $2, 3, 5$。 难度：★★☆☆☆
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（7）$\displaystyle{\frac{z}{3} = \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{9}}$ 即 $z = 3\left(\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{9}\right)$，这是**椭圆抛物面**，开口向上，顶点在原点。 难度：★★☆☆☆
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（8）$4x^{2} + 9y^{2} = -z$ 即 $z = - (4x^{2} + 9y^{2})$，这是**椭圆抛物面**，开口向下，顶点在原点。 难度：★★☆☆☆
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**难度评级**：★★☆☆☆