📝 题目
3．方程 $x^{2}+y^{2}+z^{2}-2 x+4 y+2 z=0$ 表示什么曲面？
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 首先将方程整理为标准形式。原方程为：
$$ x^{2}+y^{2}+z^{2}-2x+4y+2z=0 $$
我们分别对 $x$、$y$、$z$ 进行配方。
对于 $x$ 项： $x^{2} - 2x = (x-1)^{2} - 1$
对于 $y$ 项： $y^{2} + 4y = (y+2)^{2} - 4$
对于 $z$ 项： $z^{2} + 2z = (z+1)^{2} - 1$
代入原方程：
$$ (x-1)^{2} - 1 + (y+2)^{2} - 4 + (z+1)^{2} - 1 = 0 $$
合并常数项：
$$ (x-1)^{2} + (y+2)^{2} + (z+1)^{2} - 6 = 0 $$
移项得：
$$ (x-1)^{2} + (y+2)^{2} + (z+1)^{2} = 6 $$
这是球心在 $(1,\,-2,\,-1)$，半径 $r = \sqrt{6}$ 的球面方程。
因此，原方程表示一个球面。
难度评级：★☆☆☆☆