📝 题目
2．已知球面的一条直径的两个端点是 $(2,-3,5)$ 和 $(4,1,-3)$ ，写出球面方程．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 已知球面的一条直径的两个端点为 $A(2,-3,5)$ 和 $B(4,1,-3)$，则球心 $C$ 为线段 $AB$ 的中点：
$$ C = \left( \frac{2+4}{2},\ \frac{-3+1}{2},\ \frac{5+(-3)}{2} \right) = (3,\ -1,\ 1). $$
半径 $R$ 等于直径长度的一半。先计算直径长度：
$$ |AB| = \sqrt{(4-2)^2 + (1-(-3))^2 + (-3-5)^2} = \sqrt{2^2 + 4^2 + (-8)^2} = \sqrt{4 + 16 + 64} = \sqrt{84} = 2\sqrt{21}. $$
因此半径：
$$ R = \frac{|AB|}{2} = \sqrt{21}. $$
球面方程为：
$$ (x - 3)^2 + (y + 1)^2 + (z - 1)^2 = (\sqrt{21})^2, $$
即
$$ (x - 3)^2 + (y + 1)^2 + (z - 1)^2 = 21. $$
难度：★☆☆☆☆