第5章 · 第5-3-16题

[AI解答]

[AI解答] **第一步：直线方向向量** 直线 $l$ 由两平面交线给出，方向向量 $\vec{s}$ 垂直于两平面法向量。 法向量： $\vec{n}_1=(2,-3,4)$，$\vec{n}_2=(1,4,-2)$。 方向向量： $$ \vec{s} = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & -3 & 4 \\ 1 & 4 & -2 \end{vmatrix} $$ 计算： $$ \vec{s} = \big((-3)(-2)-4\cdot4,\; 4\cdot1-2\cdot(-2),\; 2\cdot4-(-3)\cdot1\big) = (6-16,\;4+4,\;8+3) = (-10,\;8,\;11) $$

**第二步：求过直线且垂直于各坐标面的平面**

(1) 垂直于 $xOy$ 面（即 $z=0$ 平面） 垂直于 $xOy$ 面的平面法向量平行于 $z$ 轴，即 $(0,0,1)$。 过直线且法向量为 $(0,0,1)$ 的平面方程可由直线的一般式消去 $z$ 得到： 从方程组消 $z$： $2x-3y+4z-12=0$ 乘以1，$x+4y-2z-10=0$ 乘以2，相加： $$ (2x-3y+4z-12) + 2(x+4y-2z-10)=0 $$ $$ 2x-3y+4z-12 + 2x+8y-4z-20=0 $$ $$ 4x+5y-32=0 $$ 所以平面方程为： $$ 4x+5y-32=0 $$

(2) 垂直于 $yOz$ 面（即 $x=0$ 平面） 法向量为 $(1,0,0)$，消去 $x$： 由第二式 $x = -4y+2z+10$ 代入第一式： $$ 2(-4y+2z+10)-3y+4z-12=0 $$ $$ -8y+4z+20-3y+4z-12=0 $$ $$ -11y+8z+8=0 $$ 即： $$ 11y-8z-8=0 $$

(3) 垂直于 $xOz$ 面（即 $y=0$ 平面） 法向量为 $(0,1,0)$，消去 $y$： 第一式乘以4，第二式乘以3，相加消 $y$： $4(2x-3y+4z-12)=8x-12y+16z-48$ $3(x+4y-2z-10)=3x+12y-6z-30$ 相加得： $$ 11x+10z-78=0 $$

所以三个平面方程分别为： $$ \boxed{4x+5y-32=0},\quad \boxed{11y-8z-8=0},\quad \boxed{11x+10z-78=0} $$

**第三步：求直线在平面 $3x+2y+z-10=0$ 上的投影**

投影直线是过原直线且垂直于给定平面的平面与给定平面的交线。

过直线 $l$ 的平面束方程： $$ (2x-3y+4z-12) + \lambda(x+4y-2z-10)=0 $$ 即： $$ (2+\lambda)x + (-3+4\lambda)y + (4-2\lambda)z - (12+10\lambda)=0 $$ 要求此平面垂直于给定平面 $3x+2y+z-10=0$，即法向量点积为0： $$ (2+\lambda)\cdot3 + (-3+4\lambda)\cdot2 + (4-2\lambda)\cdot1 = 0 $$ 计算： $$ 6+3\lambda -6+8\lambda +4-2\lambda = 0 $$ $$ (6-6+4) + (3\lambda+8\lambda-2\lambda)=0 $$ $$ 4 + 9\lambda = 0 \quad\Rightarrow\quad \lambda = -\frac{4}{9} $$

代入平面束： $$ \left(2-\frac{4}{9}\right)x + \left(-3-\frac{16}{9}\right)y + \left(4+\frac{8}{9}\right)z - \left(12-\frac{40}{9}\right)=0 $$ 化为整数系数（乘以9）： $$ (18-4)x + (-27-16)y + (36+8)z - (108-40)=0 $$ $$ 14x -43y +44z -68=0 $$

投影直线即为此平面与给定平面 $3x+2y+z-10=0$ 的交线： $$ \boxed{\begin{cases} 14x-43y+44z-68=0,\\ 3x+2y+z-10=0 \end{cases}} $$

**难度评级**：★★★☆☆ （涉及直线方向、平面束、投影几何，计算量中等，需细心处理系数）