📝 题目
17．过点 $M_{1}(7,3,5)$ 引方向余弦等于 $\frac{1}{3} 、 \frac{2}{3} 、 \frac{2}{3}$ 的直线 $l_{1}$ ，设直线 $l$ 过点 $M_{0}(2,-3,-1)$ ，与直线 $l_{1}$ 相交且和 $x$ 轴成 $\frac{\pi}{3}$ 角，求直线 $l$ 的方程．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 已知直线 $l_1$ 过点 $M_1(7,3,5)$，方向向量为 $$ \vec{s}_1 = \left( \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3} \right) $$ 可等价取为整数方向向量 $$ \vec{s}_1 = (1,2,2) $$ 因此直线 $l_1$ 的对称式方程为 $$ \frac{x-7}{1} = \frac{y-3}{2} = \frac{z-5}{2} $$
设所求直线 $l$ 过点 $M_0(2,-3,-1)$，方向向量为 $\vec{s} = (a,b,c)$，且与 $x$ 轴夹角为 $\frac{\pi}{3}$。 $x$ 轴方向向量为 $(1,0,0)$，夹角条件给出 $$ \cos\frac{\pi}{3} = \frac{|a|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} = \frac{1}{2} $$ 于是 $$ \sqrt{a^2+b^2+c^2} = 2|a| $$ 两边平方得 $$ a^2+b^2+c^2 = 4a^2 \quad\Rightarrow\quad b^2+c^2 = 3a^2 $$ 所以可取 $a=1$，则 $b^2+c^2=3$，方向向量可设为 $(1, b, c)$ 且满足 $b^2+c^2=3$。
又因为直线 $l$ 与 $l_1$ 相交，设交点为 $P$。 $P$ 在 $l_1$ 上，可表示为 $$ P = (7+t,\; 3+2t,\; 5+2t),\quad t\in\mathbb{R} $$ 同时 $P$ 也在 $l$ 上，故向量 $$ \overrightarrow{M_0P} = (7+t-2,\; 3+2t+3,\; 5+2t+1) = (5+t,\; 6+2t,\; 6+2t) $$ 应与方向向量 $\vec{s}=(1,b,c)$ 平行，即存在常数 $\lambda$ 使得 $$ (5+t,\; 6+2t,\; 6+2t) = \lambda(1,b,c) $$ 由此得到 $$ 5+t = \lambda,\quad 6+2t = \lambda b,\quad 6+2t = \lambda c $$ 由后两式得 $b=c$，结合 $b^2+c^2=3$ 得 $$ 2b^2=3 \quad\Rightarrow\quad b = \pm \frac{\sqrt{6}}{2} $$ 又由前两式： $$ 6+2t = (5+t)b $$ 代入 $b = \pm\frac{\sqrt{6}}{2}$。
情况1：$b = \frac{\sqrt{6}}{2}$ $$ 6+2t = (5+t)\frac{\sqrt{6}}{2} $$ 两边乘2： $$ 12+4t = (5+t)\sqrt{6} $$ 整理得 $$ 12+4t = 5\sqrt{6} + t\sqrt{6} $$ $$ 4t - t\sqrt{6} = 5\sqrt{6} - 12 $$ $$ t(4-\sqrt{6}) = 5\sqrt{6} - 12 $$ $$ t = \frac{5\sqrt{6} - 12}{4-\sqrt{6}} $$ 分母有理化： $$ t = \frac{(5\sqrt{6} - 12)(4+\sqrt{6})}{(4-\sqrt{6})(4+\sqrt{6})} = \frac{20\sqrt{6}+5\cdot6 -48 -12\sqrt{6}}{16-6} $$ $$ = \frac{(20\sqrt{6}-12\sqrt{6}) + (30-48)}{10} = \frac{8\sqrt{6} - 18}{10} = \frac{4\sqrt{6} - 9}{5} $$ 此时 $\lambda = 5+t = 5 + \frac{4\sqrt{6}-9}{5} = \frac{25+4\sqrt{6}-9}{5} = \frac{16+4\sqrt{6}}{5} \neq 0$，可行。
情况2：$b = -\frac{\sqrt{6}}{2}$ $$ 6+2t = -(5+t)\frac{\sqrt{6}}{2} $$ 乘2： $$ 12+4t = -(5+t)\sqrt{6} $$ $$ 12+4t = -5\sqrt{6} - t\sqrt{6} $$ $$ 4t + t\sqrt{6} = -5\sqrt{6} - 12 $$ $$ t(4+\sqrt{6}) = -(5\sqrt{6}+12) $$ $$ t = -\frac{5\sqrt{6}+12}{4+\sqrt{6}} $$ 有理化： $$ t = -\frac{(5\sqrt{6}+12)(4-\sqrt{6})}{(4+\sqrt{6})(4-\sqrt{6})} = -\frac{20\sqrt{6} -5\cdot6 +48 -12\sqrt{6}}{10} $$ $$ = -\frac{(20\sqrt{6}-12\sqrt{6}) + (48-30)}{10} = -\frac{8\sqrt{6}+18}{10} = -\frac{4\sqrt{6}+9}{5} $$ 此时 $\lambda = 5+t = 5 - \frac{4\sqrt{6}+9}{5} = \frac{25-4\sqrt{6}-9}{5} = \frac{16-4\sqrt{6}}{5} >0$，也成立。
因此直线 $l$ 有两个可能方向，对应两条直线。
取情况1：方向向量 $(1,\frac{\sqrt{6}}{2},\frac{\sqrt{6}}{2})$，可化为整数比乘以2得 $(2,\sqrt{6},\sqrt{6})$，直线方程为 $$ \frac{x-2}{2} = \frac{y+3}{\sqrt{6}} = \frac{z+1}{\sqrt{6}} $$
取情况2：方向向量 $(1,-\frac{\sqrt{6}}{2},-\frac{\sqrt{6}}{2})$，乘以2得 $(2,-\sqrt{6},-\sqrt{6})$，直线方程为 $$ \frac{x-2}{2} = \frac{y+3}{-\sqrt{6}} = \frac{z+1}{-\sqrt{6}} $$
因此所求直线方程为上面两个之一。
难度：★★★☆☆ （涉及空间直线方向、夹角条件、参数联立求解，计算稍繁，但思路常规）