📝 题目
3．用点向式方程及参数方程表示直线 $\left\{\begin{array}{l}x+2 y-z-6=0, \\ 2 x-y+z-1=0 .\end{array}\right.$
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 将直线表示为两个平面交线，先求直线上一点和方向向量。
**第一步：求直线上一点** 令 $z=0$，则方程组化为 $$ \begin{cases} x+2y=6, \\ 2x-y=1. \end{cases} $$ 解之：由第二式得 $y=2x-1$，代入第一式： $$ x+2(2x-1)=6 \implies 5x-2=6 \implies x=\frac{8}{5},\quad y=2\cdot\frac{8}{5}-1=\frac{16}{5}-1=\frac{11}{5}. $$ 因此直线上一点为 $\displaystyle P\left(\frac{8}{5},\frac{11}{5},0\right)$。
**第二步：求方向向量** 方向向量 $\vec{s}$ 垂直于两平面的法向量 $$ \vec{n}_1=(1,2,-1),\quad \vec{n}_2=(2,-1,1). $$ 取 $$ \vec{s}=\vec{n}_1\times\vec{n}_2= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & 1 \end{vmatrix}. $$ 计算： $$ \mathbf{i}(2\cdot1-(-1)\cdot(-1))-\mathbf{j}(1\cdot1-(-1)\cdot2)+\mathbf{k}(1\cdot(-1)-2\cdot2) $$ $$ =\mathbf{i}(2-1)-\mathbf{j}(1+2)+\mathbf{k}(-1-4) =(1,-3,-5). $$ 所以方向向量 $\vec{s}=(1,-3,-5)$。
**第三步：点向式方程** 由点 $P$ 和方向向量得 $$ \frac{x-\frac{8}{5}}{1}=\frac{y-\frac{11}{5}}{-3}=\frac{z-0}{-5}. $$
**第四步：参数方程** 令参数为 $t$，则 $$ \begin{cases} \displaystyle x=\frac{8}{5}+t,\$$6pt] \displaystyle y=\frac{11}{5}-3t,\$$6pt] z=-5t. \end{cases} $$
**最终答案** 点向式： $$ \frac{x-\frac{8}{5}}{1}=\frac{y-\frac{11}{5}}{-3}=\frac{z}{-5}. $$ 参数式： $$ \begin{cases} x=\frac{8}{5}+t,\$$4pt] y=\frac{11}{5}-3t,\$$4pt] z=-5t. \end{cases} $$
难度：★★☆☆☆