📝 题目
＊24．设直线 $l_{1}: \frac{x-9}{4}=\frac{y+2}{-3}=\frac{z}{1}$ ，直线 $l_{2}: \frac{x}{-2}=\frac{y+7}{9}=\frac{z-7}{2}$ ，试求： （1）直线 $l_{1} 、 l_{2}$ 之间的距离； （2）直线 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的公垂线方程．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] （1）直线 $l_1$ 过点 $P_1(9,-2,0)$，方向向量 $\vec{s_1}=(4,-3,1)$； 直线 $l_2$ 过点 $P_2(0,-7,7)$，方向向量 $\vec{s_2}=(-2,9,2)$。
两直线间的距离公式为： $$ d = \frac{| (\vec{P_1P_2}) \cdot (\vec{s_1} \times \vec{s_2}) |}{|\vec{s_1} \times \vec{s_2}|}. $$
先计算 $\vec{P_1P_2} = (0-9,\,-7+2,\,7-0) = (-9,-5,7)$。
再计算叉积： $$ \vec{s_1} \times \vec{s_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 4 & -3 & 1 \\ -2 & 9 & 2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}((-3)\cdot 2 - 1\cdot 9) - \mathbf{j}(4\cdot 2 - 1\cdot(-2)) + \mathbf{k}(4\cdot 9 - (-3)\cdot(-2)) $$ $$ = \mathbf{i}(-6-9) - \mathbf{j}(8+2) + \mathbf{k}(36-6) = (-15,\,-10,\,30). $$
其模： $$ |\vec{s_1} \times \vec{s_2}| = \sqrt{(-15)^2 + (-10)^2 + 30^2} = \sqrt{225+100+900} = \sqrt{1225} = 35. $$
混合积： $$ (\vec{P_1P_2})\cdot(\vec{s_1}\times\vec{s_2}) = (-9,-5,7)\cdot(-15,-10,30) = (-9)(-15)+(-5)(-10)+7\cdot30 $$ $$ = 135 + 50 + 210 = 395. $$
所以距离： $$ d = \frac{|395|}{35} = \frac{79}{7}. $$
（2）公垂线方向向量即 $\vec{n} = \vec{s_1} \times \vec{s_2} = (-15,-10,30)$，可化简为 $(-3,-2,6)$。 设公垂线与 $l_1$ 交点为 $A$，与 $l_2$ 交点为 $B$。 $A$ 在 $l_1$ 上： $$ A = (9+4t,\,-2-3t,\,t). $$ $B$ 在 $l_2$ 上： $$ B = (-2s,\,-7+9s,\,7+2s). $$ 向量 $\overrightarrow{AB} = (-2s-9-4t,\,-7+9s+2+3t,\,7+2s-t)$ 应平行于 $\vec{n}=(-3,-2,6)$，即存在比例 $k$ 使得： $$ \begin{cases} -2s-9-4t = -3k \\ -5+9s+3t = -2k \\ 7+2s-t = 6k \end{cases} $$
解此方程组： 由第一式得 $2s+4t+9 = 3k$，即 $k = \frac{2s+4t+9}{3}$。 代入第二式： $$ -5+9s+3t = -2\cdot\frac{2s+4t+9}{3} $$ 两边乘3： $$ -15+27s+9t = -4s-8t-18 $$ $$ 27s+9t-15 +4s+8t+18=0 \implies 31s+17t+3=0 \quad (1) $$
代入第三式： $$ 7+2s-t = 6\cdot\frac{2s+4t+9}{3} = 2(2s+4t+9)=4s+8t+18 $$ $$ 7+2s-t-4s-8t-18=0 \implies -2s-9t-11=0 \implies 2s+9t+11=0 \quad (2) $$
解 (1)(2)： 由(2)：$s = \frac{-9t-11}{2}$，代入(1)： $$ 31\cdot\frac{-9t-11}{2} + 17t + 3 = 0 $$ 乘2： $$ 31(-9t-11) + 34t + 6 = 0 $$ $$ -279t -341 +34t +6 =0 \implies -245t -335=0 \implies t = -\frac{335}{245} = -\frac{67}{49}. $$
于是： $$ s = \frac{-9(-\frac{67}{49})-11}{2} = \frac{\frac{603}{49} - \frac{539}{49}}{2} = \frac{\frac{64}{49}}{2} = \frac{32}{49}. $$
取 $A$ 坐标： $$ x_A = 9+4\left(-\frac{67}{49}\right) = 9 - \frac{268}{49} = \frac{441-268}{49} = \frac{173}{49}, $$ $$ y_A = -2 -3\left(-\frac{67}{49}\right) = -2 + \frac{201}{49} = \frac{-98+201}{49} = \frac{103}{49}, $$ $$ z_A = -\frac{67}{49}. $$
所以公垂线过点 $A\left(\frac{173}{49},\frac{103}{49},-\frac{67}{49}\right)$，方向向量取 $(-3,-2,6)$，方程为： $$ \frac{x-\frac{173}{49}}{-3} = \frac{y-\frac{103}{49}}{-2} = \frac{z+\frac{67}{49}}{6}. $$
也可以乘以分母化简，例如写成： $$ \frac{49x-173}{-147} = \frac{49y-103}{-98} = \frac{49z+67}{294}. $$
难度：★★★☆☆ （涉及向量运算、混合积、公垂线求法及解线性方程组，计算量中等）