第5章 · 第5-1-24题

[AI解答]

[AI解答]

已知向量 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 均为非零向量（否则夹角无意义）。由垂直条件可得内积为零。

由第一个垂直条件： $$ (\boldsymbol{a}+3\boldsymbol{b}) \cdot (7\boldsymbol{a}-5\boldsymbol{b}) = 0 $$ 展开： $$ 7\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{a} -5\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b} +21\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{a} -15\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{b} = 0 $$ 即： $$ 7|\boldsymbol{a}|^2 + 16\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b} - 15|\boldsymbol{b}|^2 = 0 \quad (1) $$

由第二个垂直条件： $$ (\boldsymbol{a}-4\boldsymbol{b}) \cdot (7\boldsymbol{a}-2\boldsymbol{b}) = 0 $$ 展开： $$ 7\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{a} -2\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b} -28\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{a} +8\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{b} = 0 $$ 即： $$ 7|\boldsymbol{a}|^2 -30\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b} +8|\boldsymbol{b}|^2 = 0 \quad (2) $$

用 (1) 式减去 (2) 式： $$ (7|\boldsymbol{a}|^2 + 16\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b} -15|\boldsymbol{b}|^2) - (7|\boldsymbol{a}|^2 -30\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b} +8|\boldsymbol{b}|^2) = 0 $$ 化简得： $$ 46\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b} -23|\boldsymbol{b}|^2 = 0 $$ 因此： $$ 46\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b} = 23|\boldsymbol{b}|^2 \quad\Rightarrow\quad \boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b} = \frac{1}{2}|\boldsymbol{b}|^2 \quad (3) $$

将 (3) 代入 (1) 式： $$ 7|\boldsymbol{a}|^2 + 16\cdot\frac{1}{2}|\boldsymbol{b}|^2 -15|\boldsymbol{b}|^2 = 0 $$ 即： $$ 7|\boldsymbol{a}|^2 + 8|\boldsymbol{b}|^2 -15|\boldsymbol{b}|^2 = 0 $$ $$ 7|\boldsymbol{a}|^2 -7|\boldsymbol{b}|^2 = 0 $$ 所以： $$ |\boldsymbol{a}|^2 = |\boldsymbol{b}|^2 \quad\Rightarrow\quad |\boldsymbol{a}| = |\boldsymbol{b}| $$

由 (3) 式及 $|\boldsymbol{a}|=|\boldsymbol{b}|$，得： $$ \boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b} = \frac{1}{2}|\boldsymbol{a}|^2 $$

由夹角公式： $$ \cos\theta = \frac{\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|} = \frac{\frac{1}{2}|\boldsymbol{a}|^2}{|\boldsymbol{a}|^2} = \frac{1}{2} $$ 因此： $$ \theta = \frac{\pi}{3} $$

难度：★★☆☆☆