📝 题目
23．设 $\boldsymbol{a} 、 \boldsymbol{b} 、 \boldsymbol{c}$ 满足 $\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}=\mathbf{0}$ ． （1）证明： $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}+\boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{c}+\boldsymbol{c} \cdot \boldsymbol{a}=-\frac{1}{2}\left(|\boldsymbol{a}|^{2}+|\boldsymbol{b}|^{2}+|\boldsymbol{c}|^{2}\right)$ ； （2）若还满足 $|\boldsymbol{a}|=3,|\boldsymbol{b}|=4,|\boldsymbol{c}|=5$ ，求 $|\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}+\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c}+\boldsymbol{c} \times \boldsymbol{a}|$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
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（1）证明： 已知 $\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}=\mathbf{0}$，两边同时与自身作数量积： $$ (\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})\cdot(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}) = 0 $$ 展开得： $$ \boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{b} + \boldsymbol{c}\cdot\boldsymbol{c} + 2(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b} + \boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{c} + \boldsymbol{c}\cdot\boldsymbol{a}) = 0 $$ 即 $$ |\boldsymbol{a}|^{2}+|\boldsymbol{b}|^{2}+|\boldsymbol{c}|^{2} + 2(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}+\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{c}+\boldsymbol{c}\cdot\boldsymbol{a}) = 0 $$ 移项得： $$ \boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}+\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{c}+\boldsymbol{c}\cdot\boldsymbol{a} = -\frac{1}{2}\left(|\boldsymbol{a}|^{2}+|\boldsymbol{b}|^{2}+|\boldsymbol{c}|^{2}\right) $$ 证毕。
（2）解： 由 $\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}=\mathbf{0}$ 可得 $\boldsymbol{c} = -(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})$。 先化简向量表达式： $$ \boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b} + \boldsymbol{b}\times\boldsymbol{c} + \boldsymbol{c}\times\boldsymbol{a} $$ 将 $\boldsymbol{c} = -(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})$ 代入： $$ \boldsymbol{b}\times\boldsymbol{c} = \boldsymbol{b}\times(-(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})) = -\boldsymbol{b}\times\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}\times\boldsymbol{b} = \boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b} \quad (\text{因为 } \boldsymbol{b}\times\boldsymbol{b}=0,\ \boldsymbol{b}\times\boldsymbol{a} = -\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}) $$ $$ \boldsymbol{c}\times\boldsymbol{a} = -(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})\times\boldsymbol{a} = -\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}\times\boldsymbol{a} = \boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b} $$ 因此三项之和为： $$ \boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b} + \boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b} + \boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b} = 3(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}) $$ 于是所求模为： $$ |3(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})| = 3|\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}| $$ 又因为 $|\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}| = |\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\sin\theta$，其中 $\theta$ 为 $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$ 夹角。 由（1）结论： $$ \boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b} = -\frac{1}{2}(|\boldsymbol{a}|^{2}+|\boldsymbol{b}|^{2}+|\boldsymbol{c}|^{2}) - (\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{c}+\boldsymbol{c}\cdot\boldsymbol{a}) $$ 但更直接地，由 $\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}=0$ 可得： $$ \boldsymbol{c} = -(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}) \Rightarrow |\boldsymbol{c}|^{2} = |\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|^{2} = |\boldsymbol{a}|^{2}+|\boldsymbol{b}|^{2}+2\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b} $$ 代入已知模长 $|\boldsymbol{a}|=3,|\boldsymbol{b}|=4,|\boldsymbol{c}|=5$： $$ 25 = 9 + 16 + 2\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b} \Rightarrow 2\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b} = 0 \Rightarrow \boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=0 $$ 所以 $\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b}$，于是 $|\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}| = |\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}| = 3\times 4 = 12$。 因此 $$ |\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}+\boldsymbol{b}\times\boldsymbol{c}+\boldsymbol{c}\times\boldsymbol{a}| = 3\times 12 = 36 $$
难度：★★☆☆☆