第5章 · 第5-1-22题

[AI解答]

[AI解答] 已知 $\boldsymbol{m}, \boldsymbol{n}$ 是互相垂直的单位向量，因此满足：

$$ \boldsymbol{m} \cdot \boldsymbol{m} = 1,\quad \boldsymbol{n} \cdot \boldsymbol{n} = 1,\quad \boldsymbol{m} \cdot \boldsymbol{n} = 0. $$

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**（1）求 $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}$**

由定义： $$ \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = (2\boldsymbol{m} + 3\boldsymbol{n}) \cdot (3\boldsymbol{m} - \boldsymbol{n}) $$ 展开： $$ = 2\boldsymbol{m} \cdot 3\boldsymbol{m} + 2\boldsymbol{m} \cdot (-\boldsymbol{n}) + 3\boldsymbol{n} \cdot 3\boldsymbol{m} + 3\boldsymbol{n} \cdot (-\boldsymbol{n}) $$ $$ = 6(\boldsymbol{m} \cdot \boldsymbol{m}) - 2(\boldsymbol{m} \cdot \boldsymbol{n}) + 9(\boldsymbol{n} \cdot \boldsymbol{m}) - 3(\boldsymbol{n} \cdot \boldsymbol{n}) $$ 代入已知条件： $$ = 6 \cdot 1 - 2 \cdot 0 + 9 \cdot 0 - 3 \cdot 1 = 6 - 3 = 3. $$

因此： $$ \boxed{3} $$

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**（2）求 $|\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}|$**

利用叉积的模长公式： $$ |\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}| = |\boldsymbol{a}|\,|\boldsymbol{b}|\,\sin\theta $$ 但更方便的是直接利用叉积的分配律与单位正交基的性质。

先计算： $$ \boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b} = (2\boldsymbol{m} + 3\boldsymbol{n}) \times (3\boldsymbol{m} - \boldsymbol{n}) $$ 展开： $$ = 2\boldsymbol{m} \times 3\boldsymbol{m} + 2\boldsymbol{m} \times (-\boldsymbol{n}) + 3\boldsymbol{n} \times 3\boldsymbol{m} + 3\boldsymbol{n} \times (-\boldsymbol{n}) $$ 由于 $\boldsymbol{m} \times \boldsymbol{m} = \boldsymbol{0}$，$\boldsymbol{n} \times \boldsymbol{n} = \boldsymbol{0}$，且 $\boldsymbol{n} \times \boldsymbol{m} = -\boldsymbol{m} \times \boldsymbol{n}$，得： $$ = 0 - 2(\boldsymbol{m} \times \boldsymbol{n}) + 9(\boldsymbol{n} \times \boldsymbol{m}) - 0 $$ $$ = -2(\boldsymbol{m} \times \boldsymbol{n}) + 9(-\boldsymbol{m} \times \boldsymbol{n}) = -11 (\boldsymbol{m} \times \boldsymbol{n}) $$

因为 $\boldsymbol{m}$ 与 $\boldsymbol{n}$ 是互相垂直的单位向量，所以 $|\boldsymbol{m} \times \boldsymbol{n}| = 1$，于是： $$ |\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}| = |-11| \cdot 1 = 11. $$

因此： $$ \boxed{11} $$

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难度评级：★☆☆☆☆ （仅涉及向量点积与叉积的基本运算，代入条件即可，无复杂技巧。）