📝 题目
21．设 $\boldsymbol{A}=2 \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}, \boldsymbol{B}=k \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$ ，其中 $|\boldsymbol{a}|=1,|\boldsymbol{b}|=2, \boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{b}$ ，问： （1）$k$ 为何值时， $\boldsymbol{A} \perp \boldsymbol{B}$ ？ （2）$k$ 为何值时，以 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 为邻边的平行四边形的面积为6？
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答]
已知条件： $|\boldsymbol{a}|=1$，$|\boldsymbol{b}|=2$，且 $\boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{b}$，即 $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=0$。
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### （1）$\boldsymbol{A} \perp \boldsymbol{B}$ 的条件
两向量垂直的充要条件是点积为零： $$ \boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{B} = 0 $$
代入： $$ \boldsymbol{A} = 2\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b},\quad \boldsymbol{B} = k\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} $$ 计算点积： $$ \boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{B} = (2\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})\cdot(k\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}) $$ $$ = 2k (\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{a}) + 2(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}) + k(\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{a}) + (\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{b}) $$ 由于 $\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=0$，且 $\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{a}=|\boldsymbol{a}|^2=1$，$\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{b}=|\boldsymbol{b}|^2=4$，得： $$ \boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{B} = 2k \cdot 1 + 0 + 0 + 4 = 2k + 4 $$ 令其为零： $$ 2k + 4 = 0 \quad\Rightarrow\quad k = -2 $$
所以当 $k=-2$ 时，$\boldsymbol{A}\perp\boldsymbol{B}$。
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### （2）平行四边形面积为6的条件
以 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 为邻边的平行四边形面积公式为： $$ S = |\boldsymbol{A} \times \boldsymbol{B}| $$ 在二维或三维向量中，面积等于两向量叉积的模长。这里我们使用公式： $$ |\boldsymbol{A} \times \boldsymbol{B}|^2 = |\boldsymbol{A}|^2|\boldsymbol{B}|^2 - (\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{B})^2 $$
先计算 $|\boldsymbol{A}|^2$： $$ |\boldsymbol{A}|^2 = (2\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})\cdot(2\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}) = 4|\boldsymbol{a}|^2 + 4(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}) + |\boldsymbol{b}|^2 = 4\cdot1 + 0 + 4 = 8 $$
再计算 $|\boldsymbol{B}|^2$： $$ |\boldsymbol{B}|^2 = (k\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})\cdot(k\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}) = k^2|\boldsymbol{a}|^2 + 2k(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}) + |\boldsymbol{b}|^2 = k^2 + 4 $$
而 $\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{B}$ 前面已算得： $$ \boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{B} = 2k + 4 $$
因此面积平方为： $$ S^2 = 8(k^2+4) - (2k+4)^2 $$ 展开： $$ = 8k^2 + 32 - (4k^2 + 16k + 16) $$ $$ = 8k^2 + 32 - 4k^2 - 16k - 16 $$ $$ = 4k^2 - 16k + 16 $$
已知面积为6，所以： $$ S^2 = 36 $$ 即： $$ 4k^2 - 16k + 16 = 36 $$ $$ 4k^2 - 16k - 20 = 0 $$ 两边除以4： $$ k^2 - 4k - 5 = 0 $$ 因式分解： $$ (k-5)(k+1) = 0 $$ 解得： $$ k = 5 \quad\text{或}\quad k = -1 $$
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**最终答案：** （1）$k=-2$ （2）$k=5$ 或 $k=-1$
难度：★★☆☆☆