📝 题目
5．确定下列各组中的直线和平面间的位置关系． （1）$\frac{x-3}{-2}=\frac{y+4}{-7}=\frac{z}{3}$ 和 $4 x-2 y-2 z=3$ ； （2）$\frac{x}{3}=\frac{y}{-2}=\frac{z}{7}$ 和 $3 x-2 y+7 z=8$ ； （3）$\frac{x-2}{3}=\frac{y+2}{1}=\frac{z-3}{-4}$ 和 $x+y+z=3$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
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**题目**：确定下列各组中的直线和平面间的位置关系。
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### （1） 直线： $$ \frac{x-3}{-2} = \frac{y+4}{-7} = \frac{z}{3} $$ 方向向量为 $\vec{s} = (-2, -7, 3)$。 平面： $$ 4x - 2y - 2z = 3 $$ 法向量为 $\vec{n} = (4, -2, -2)$。
先判断直线方向向量与平面法向量是否垂直： $$ \vec{s} \cdot \vec{n} = (-2)(4) + (-7)(-2) + (3)(-2) = -8 + 14 - 6 = 0 $$ 点积为0，说明直线与平面平行或直线在平面上。
取直线上一点 $P(3, -4, 0)$，代入平面方程： $$ 4(3) - 2(-4) - 2(0) = 12 + 8 = 20 \neq 3 $$ 点不在平面上，因此直线与平面平行。
**结论**：平行。
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### （2） 直线： $$ \frac{x}{3} = \frac{y}{-2} = \frac{z}{7} $$ 方向向量 $\vec{s} = (3, -2, 7)$。 平面： $$ 3x - 2y + 7z = 8 $$ 法向量 $\vec{n} = (3, -2, 7)$。
方向向量与法向量成比例： $$ \frac{3}{3} = \frac{-2}{-2} = \frac{7}{7} = 1 $$ 因此 $\vec{s} \parallel \vec{n}$，直线垂直于平面。
取直线上一点 $O(0,0,0)$，代入平面方程： $$ 3(0) - 2(0) + 7(0) = 0 \neq 8 $$ 点不在平面上，因此直线与平面相交于一点，且垂直。
**结论**：垂直相交。
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### （3） 直线： $$ \frac{x-2}{3} = \frac{y+2}{1} = \frac{z-3}{-4} $$ 方向向量 $\vec{s} = (3, 1, -4)$。 平面： $$ x + y + z = 3 $$ 法向量 $\vec{n} = (1, 1, 1)$。
计算点积： $$ \vec{s} \cdot \vec{n} = 3(1) + 1(1) + (-4)(1) = 3 + 1 - 4 = 0 $$ 所以直线与平面平行或直线在平面上。
取直线上一点 $P(2, -2, 3)$，代入平面方程： $$ 2 + (-2) + 3 = 3 $$ 满足平面方程，因此直线在平面上。
**结论**：直线在平面内。
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**难度评级**：★☆☆☆☆