📝 题目
14．已知空间曲线（两球面的交线）$\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}+z^{2}=1, \\ x^{2}+(y-1)^{2}+(z-1)^{2}=1,\end{array}\right.$ 求它在 $x O y$ 面上的投影曲线方程．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 我们已知空间曲线由两个球面方程给出：
$$ \begin{cases} x^{2}+y^{2}+z^{2}=1, \\ x^{2}+(y-1)^{2}+(z-1)^{2}=1. \end{cases} $$
**第一步：消去变量 $z$** 将第二个方程展开：
$$ x^{2}+(y^{2}-2y+1)+(z^{2}-2z+1)=1, $$ 即 $$ x^{2}+y^{2}+z^{2}-2y-2z+2=1. $$
代入第一个方程 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$，得：
$$ 1-2y-2z+2=1, $$ 化简得： $$ -2y-2z+2=0 \quad\Rightarrow\quad y+z=1. $$
于是空间曲线实际上是球面与平面 $y+z=1$ 的交线。
**第二步：将 $z=1-y$ 代入第一个球面方程** 由 $z=1-y$ 代入 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$：
$$ x^{2}+y^{2}+(1-y)^{2}=1, $$ 展开： $$ x^{2}+y^{2}+1-2y+y^{2}=1, $$ 即 $$ x^{2}+2y^{2}-2y=0. $$
**第三步：化为标准形式** 配方： $$ x^{2}+2\left(y^{2}-y\right)=0, $$ $$ x^{2}+2\left[\left(y-\frac12\right)^{2}-\frac14\right]=0, $$ $$ x^{2}+2\left(y-\frac12\right)^{2}-\frac12=0, $$ $$ x^{2}+2\left(y-\frac12\right)^{2}=\frac12. $$
两边乘以 2： $$ 2x^{2}+4\left(y-\frac12\right)^{2}=1, $$ 或写成标准椭圆方程： $$ \frac{x^{2}}{\frac12}+\frac{(y-\frac12)^{2}}{\frac14}=1. $$
**第四步：得到投影曲线** 由于投影到 $xOy$ 平面就是消去 $z$ 后得到的方程，因此投影曲线方程为：
$$ \boxed{x^{2}+2\left(y-\frac12\right)^{2}=\frac12,\quad z=0}. $$
这是 $xOy$ 平面上的一个椭圆，中心在 $(0,\frac12)$，长轴沿 $y$ 方向。
难度评级：★★☆☆☆ （主要考查空间曲线投影的消元法，计算量小，但需注意配方法）