📝 题目
15．求曲线 $\left\{\begin{array}{l}(x+2)^{2}-z^{2}=4, \\ (x-2)^{2}+y^{2}=4\end{array}\right.$ 在 $y O z$ 面上的投影．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 我们要求曲线 $$ \begin{cases} (x+2)^2 - z^2 = 4, \\ (x-2)^2 + y^2 = 4 \end{cases} $$ 在 $yOz$ 平面上的投影。投影即消去变量 $x$，得到只含 $y,z$ 的关系式。
**第一步：从第一个方程解出 $x$** 第一个方程 $$ (x+2)^2 - z^2 = 4 \quad\Rightarrow\quad (x+2)^2 = z^2 + 4. $$ 因此 $$ x+2 = \pm\sqrt{z^2+4} \quad\Rightarrow\quad x = -2 \pm \sqrt{z^2+4}. $$
**第二步：代入第二个方程** 第二个方程 $$ (x-2)^2 + y^2 = 4. $$ 将 $x$ 的表达式代入，分两种情况。
**情况1：** $x = -2 + \sqrt{z^2+4}$ 则 $$ x-2 = -4 + \sqrt{z^2+4}. $$ 于是 $$ (x-2)^2 = \left( \sqrt{z^2+4} - 4 \right)^2. $$ 代入得 $$ \left( \sqrt{z^2+4} - 4 \right)^2 + y^2 = 4. $$
**情况2：** $x = -2 - \sqrt{z^2+4}$ 则 $$ x-2 = -4 - \sqrt{z^2+4}. $$ 于是 $$ (x-2)^2 = \left( \sqrt{z^2+4} + 4 \right)^2. $$ 代入得 $$ \left( \sqrt{z^2+4} + 4 \right)^2 + y^2 = 4. $$
**第三步：化简并判断可行性** 对于情况2，因为 $\sqrt{z^2+4} \ge 2$，所以 $$ \sqrt{z^2+4} + 4 \ge 6 \quad\Rightarrow\quad (x-2)^2 \ge 36, $$ 这不可能等于 $4 - y^2 \le 4$，因此情况2无实数解，舍去。
**第四步：化简情况1** 由情况1： $$ \left( \sqrt{z^2+4} - 4 \right)^2 + y^2 = 4. $$ 展开： $$ (z^2+4) - 8\sqrt{z^2+4} + 16 + y^2 = 4, $$ 即 $$ z^2 + y^2 + 20 - 8\sqrt{z^2+4} = 4, $$ $$ z^2 + y^2 + 16 = 8\sqrt{z^2+4}. $$ 两边平方（注意此时右边非负，左边也应非负，需检查范围）： $$ (z^2 + y^2 + 16)^2 = 64(z^2+4). $$
**第五步：整理投影方程** 展开左边： $$ (z^2 + y^2)^2 + 32(z^2 + y^2) + 256 = 64z^2 + 256. $$ 两边消去256： $$ (z^2 + y^2)^2 + 32(z^2 + y^2) = 64z^2. $$ 移项： $$ (z^2 + y^2)^2 + 32y^2 + 32z^2 - 64z^2 = 0, $$ 即 $$ (z^2 + y^2)^2 + 32y^2 - 32z^2 = 0. $$ 或写成 $$ (z^2 + y^2)^2 = 32(z^2 - y^2). $$
**第六步：确定取值范围** 由平方前方程 $z^2 + y^2 + 16 = 8\sqrt{z^2+4}$，右边为正，所以左边必须为正，恒成立。 另外，由原曲线第二个方程 $(x-2)^2 + y^2 = 4$ 可知 $|y| \le 2$，且由第一个方程知 $z$ 任意实数，但投影后需满足上述方程。 因此投影曲线方程为 $$ \boxed{(z^2 + y^2)^2 = 32(z^2 - y^2)},\quad |y| \le 2. $$
难度评级：★★★☆☆ （涉及空间曲线投影、消元、平方处理及范围讨论，有一定代数复杂度，但思路清晰。）