📝 题目
16．设一个立体，由上半球面 $z=\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}$ 和上半雉面 $z=\sqrt{3\left(x^{2}+y^{2}\right)}$ 所围成，求它在 $x O y$ 面上的投影。
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 我们分析立体由两个曲面围成： - 上半球面：$z = \sqrt{4 - x^2 - y^2}$，这是球心在原点、半径为2的上半球。 - 上半锥面：$z = \sqrt{3(x^2 + y^2)}$，这是顶点在原点、开口向上的圆锥的上半部分。
立体是这两个曲面之间的区域，即锥面之上、球面之下的部分。 要求该立体在 $xOy$ 平面上的投影，就是找出所有可能出现的 $(x,y)$ 范围，使得存在 $z$ 同时满足： $$ \sqrt{3(x^2+y^2)} \le z \le \sqrt{4 - x^2 - y^2}. $$ 这要求： $$ \sqrt{3(x^2+y^2)} \le \sqrt{4 - x^2 - y^2}. $$ 两边平方（因为非负）得： $$ 3(x^2+y^2) \le 4 - (x^2+y^2), $$ 即 $$ 4(x^2+y^2) \le 4, $$ 所以 $$ x^2 + y^2 \le 1. $$ 另外，球面本身要求 $x^2+y^2 \le 4$，但这里更严格的限制是上面不等式给出的圆盘。 因此，立体在 $xOy$ 面上的投影是圆心在原点、半径为1的圆盘。
最终结果： $$ \boxed{D = \{(x,y) \mid x^2 + y^2 \le 1\}} $$
难度评级：★★☆☆☆ （思路直接，只需联立不等式求交线投影，计算量小，但需注意曲面范围的理解。）