📝 题目
13．求曲线 $\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}+z^{2}=3, \\ x^{2}+y^{2}=2 z\end{array}\right.$ 在 $x O y$ 面上的投影．
💡 答案与解析
[AI解答]
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我们要求曲线 $$ \begin{cases} x^{2}+y^{2}+z^{2}=3, \\ x^{2}+y^{2}=2z \end{cases} $$ 在 $xOy$ 平面上的投影。投影即消去 $z$ 后得到的曲线在 $xOy$ 平面上的方程。
**第一步：消去 $z$** 由第二个方程得 $$ x^{2}+y^{2}=2z \quad\Rightarrow\quad z = \frac{x^{2}+y^{2}}{2}. $$ 代入第一个方程： $$ x^{2}+y^{2}+\left(\frac{x^{2}+y^{2}}{2}\right)^{2}=3. $$ 令 $r^{2}=x^{2}+y^{2}$，则方程化为 $$ r^{2}+\frac{r^{4}}{4}=3. $$ 两边乘以 4： $$ 4r^{2}+r^{4}=12 \quad\Rightarrow\quad r^{4}+4r^{2}-12=0. $$ 令 $t=r^{2}\ge 0$，则 $$ t^{2}+4t-12=0. $$ 解得 $$ t = \frac{-4\pm\sqrt{16+48}}{2} = \frac{-4\pm 8}{2}. $$ 取非负根 $t=2$，因此 $$ r^{2}=2 \quad\Rightarrow\quad x^{2}+y^{2}=2. $$
**第二步：确定 $z$ 的范围** 由 $x^{2}+y^{2}=2z$ 及 $x^{2}+y^{2}=2$ 得 $z=1$。 原曲线是球面与抛物面的交线，它在空间中是封闭曲线，投影到 $xOy$ 平面后即为圆 $x^{2}+y^{2}=2$，且该圆上的每一点都对应原曲线上的一点（因为 $z$ 由方程唯一确定且满足球面方程）。
因此，投影曲线方程为 $$ \boxed{x^{2}+y^{2}=2}. $$
难度：★★☆☆☆