📝 题目
12．求曲线 $\left\{\begin{array}{l}2 y^{2}+z^{2}+4 x=4 z, \\ y^{2}+3 z^{2}-8 x=12 z\end{array}\right.$ 在三个坐标面上的投影．
💡 答案与解析
[AI解答]
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我们首先将曲线方程整理成更标准的形式。给定曲线由方程组 $$ \begin{cases} 2y^{2}+z^{2}+4x=4z, \$$2mm] y^{2}+3z^{2}-8x=12z \end{cases} $$ 定义。目标是求该曲线在三个坐标面 $xOy$、$yOz$、$zOx$ 上的投影。
**第一步：消去变量，得到投影柱面方程**
1. **消去 $x$**，得到曲线在 $yOz$ 平面上的投影。 将第一个方程乘以 2，得 $$ 4y^{2}+2z^{2}+8x=8z. $$ 与第二个方程相加： $$ (4y^{2}+2z^{2}+8x)+(y^{2}+3z^{2}-8x)=8z+12z, $$ 即 $$ 5y^{2}+5z^{2}=20z \quad\Rightarrow\quad y^{2}+z^{2}=4z. $$ 配方： $$ y^{2}+(z^{2}-4z+4)=4 \quad\Rightarrow\quad y^{2}+(z-2)^{2}=4. $$ 这是 $yOz$ 平面上的一个圆，圆心 $(0,2)$，半径 $2$。 因此曲线在 $yOz$ 平面上的投影方程为 $$ \boxed{y^{2}+(z-2)^{2}=4}. $$
2. **消去 $y$**，得到曲线在 $zOx$ 平面上的投影。 将第一个方程乘以 3，第二个方程乘以 2，得 $$ \begin{cases} 6y^{2}+3z^{2}+12x=12z,\\ 2y^{2}+6z^{2}-16x=24z. \end{cases} $$ 用第一式减去第二式： $$ (6y^{2}-2y^{2})+(3z^{2}-6z^{2})+(12x+16x)=12z-24z, $$ 即 $$ 4y^{2}-3z^{2}+28x=-12z. $$ 但我们希望消去 $y^{2}$，更好的做法是：从原方程组直接消去 $y^{2}$。 将第一个方程乘以 1，第二个方程乘以 2，得 $$ \begin{cases} 2y^{2}+z^{2}+4x=4z,\\ 2y^{2}+6z^{2}-16x=24z. \end{cases} $$ 相减： $$ (z^{2}-6z^{2})+(4x+16x)=4z-24z, $$ 即 $$ -5z^{2}+20x=-20z \quad\Rightarrow\quad 20x=5z^{2}-20z. $$ 两边除以 5： $$ 4x=z^{2}-4z \quad\Rightarrow\quad 4x=(z-2)^{2}-4. $$ 所以 $$ (z-2)^{2}=4(x+1). $$ 这是 $zOx$ 平面上的抛物线，顶点在 $(-1,2)$，开口沿 $x$ 正向。 因此曲线在 $zOx$ 平面上的投影方程为 $$ \boxed{(z-2)^{2}=4(x+1)}. $$
3. **消去 $z$**，得到曲线在 $xOy$ 平面上的投影。 原方程组为 $$ \begin{cases} 2y^{2}+z^{2}+4x=4z,\\ y^{2}+3z^{2}-8x=12z. \end{cases} $$ 将第一个方程乘以 3，得 $$ 6y^{2}+3z^{2}+12x=12z. $$ 减去第二个方程： $$ (6y^{2}-y^{2})+(3z^{2}-3z^{2})+(12x+8x)=12z-12z, $$ 即 $$ 5y^{2}+20x=0 \quad\Rightarrow\quad y^{2}=-4x. $$ 这是 $xOy$ 平面上的抛物线，顶点在原点，开口沿 $x$ 负向。 因此曲线在 $xOy$ 平面上的投影方程为 $$ \boxed{y^{2}=-4x}. $$
**第二步：总结三个投影**
- 在 $yOz$ 平面：$y^{2}+(z-2)^{2}=4$（圆） - 在 $zOx$ 平面：$(z-2)^{2}=4(x+1)$（抛物线） - 在 $xOy$ 平面：$y^{2}=-4x$（抛物线）
**难度评级**：★★☆☆☆ （主要考察空间曲线投影的消元法，计算量不大，思路直接）