📝 题目
＊22．设直线 $l: \frac{x-x_{0}}{m}=\frac{y-y_{0}}{n}=\frac{z-z_{0}}{p}$ ，其中 $\boldsymbol{s}=(m, n, p), M_{0}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ ，直线 $l$外一点为 $M_{1}\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right)$ ，证明：点 $M_{1}$ 到直线 $l$ 的距离为 $d=\frac{\left|\overrightarrow{M_{1} M_{0}} \times \boldsymbol{s}\right|}{|\boldsymbol{s}|}$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
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**证明** 设直线 $l$ 过点 $M_0(x_0,y_0,z_0)$，方向向量为 $\boldsymbol{s}=(m,n,p)$。点 $M_1(x_1,y_1,z_1)$ 为直线外一点。 构造向量 $$ \overrightarrow{M_1 M_0} = (x_0 - x_1,\; y_0 - y_1,\; z_0 - z_1). $$ 点 $M_1$ 到直线 $l$ 的距离 $d$ 等于以 $\overrightarrow{M_1 M_0}$ 和 $\boldsymbol{s}$ 为邻边的平行四边形的面积除以底边 $|\boldsymbol{s}|$ 的长度。 平行四边形的面积为 $$ \left|\overrightarrow{M_1 M_0} \times \boldsymbol{s}\right|, $$ 因此 $$ d = \frac{\left|\overrightarrow{M_1 M_0} \times \boldsymbol{s}\right|}{|\boldsymbol{s}|}. $$ 此即为点到直线的距离公式。
**难度评级**：★☆☆☆☆