📝 题目
9．求过点 $M(3,1,-2)$ 及直线 $\frac{x-4}{5}=\frac{y+3}{2}=\frac{z}{1}$ 的平面方程．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 已知直线方程为 $$ \frac{x-4}{5}=\frac{y+3}{2}=\frac{z}{1} $$ 所以直线的方向向量为 $$ \vec{s} = (5, 2, 1) $$ 直线上取一点 $N(4, -3, 0)$。 点 $M(3,1,-2)$ 与点 $N$ 构成的向量为 $$ \overrightarrow{MN} = (4-3,\,-3-1,\,0-(-2)) = (1,\,-4,\,2) $$ 所求平面同时包含直线和点 $M$，因此平面的法向量 $\vec{n}$ 垂直于方向向量 $\vec{s}$ 和向量 $\overrightarrow{MN}$，即 $$ \vec{n} = \vec{s} \times \overrightarrow{MN} $$ 计算叉积： $$ \vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 5 & 2 & 1 \\ 1 & -4 & 2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(2\cdot 2 - 1\cdot(-4)) - \mathbf{j}(5\cdot 2 - 1\cdot 1) + \mathbf{k}(5\cdot(-4) - 2\cdot 1) $$ $$ = \mathbf{i}(4+4) - \mathbf{j}(10 - 1) + \mathbf{k}(-20 - 2) $$ $$ = (8,\,-9,\,-22) $$ 取平面上一点 $M(3,1,-2)$，则平面方程为 $$ 8(x-3) - 9(y-1) - 22(z+2) = 0 $$ 化简： $$ 8x - 24 - 9y + 9 - 22z - 44 = 0 $$ $$ 8x - 9y - 22z - 59 = 0 $$ 因此所求平面方程为 $$ \boxed{8x - 9y - 22z - 59 = 0} $$
难度：★★☆☆☆