📝 题目
27．已知向量 $\boldsymbol{a} \neq \mathbf{0}, \boldsymbol{b} \neq \mathbf{0}$ ，证明：
$$ |\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}|^{2}=|\boldsymbol{a}|^{2} \cdot|\boldsymbol{b}|^{2}-(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b})^{2} . $$
💡 答案与解析
[AI解答]
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**证明**： 设向量 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ 的夹角为 $\theta$，其中 $0 \le \theta \le \pi$。 由向量叉积的模长公式，有 $$ |\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}| = |\boldsymbol{a}|\,|\boldsymbol{b}| \sin\theta, $$ 两边平方得 $$ |\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}|^{2} = |\boldsymbol{a}|^{2} |\boldsymbol{b}|^{2} \sin^{2}\theta. $$ 又由点积公式， $$ \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = |\boldsymbol{a}|\,|\boldsymbol{b}| \cos\theta, $$ 所以 $$ (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b})^{2} = |\boldsymbol{a}|^{2} |\boldsymbol{b}|^{2} \cos^{2}\theta. $$ 于是 $$ |\boldsymbol{a}|^{2} |\boldsymbol{b}|^{2} - (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b})^{2} = |\boldsymbol{a}|^{2} |\boldsymbol{b}|^{2} (1 - \cos^{2}\theta) = |\boldsymbol{a}|^{2} |\boldsymbol{b}|^{2} \sin^{2}\theta. $$ 因此 $$ |\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}|^{2} = |\boldsymbol{a}|^{2} |\boldsymbol{b}|^{2} - (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b})^{2}. $$ 证毕。
难度：★☆☆☆☆