📝 题目
28．已知 $\boldsymbol{a} 、 \boldsymbol{b} 、 \boldsymbol{c}$ 两两垂直，且 $|\boldsymbol{a}|=1,|\boldsymbol{b}|=2,|\boldsymbol{c}|=3$ ，求 $\boldsymbol{s}=\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}$ 的长度及它和 $\boldsymbol{a} 、 \boldsymbol{b} 、 \boldsymbol{c}$ 的夹角．
💡 答案与解析
[AI解答]
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已知向量 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}$ 两两垂直，即满足： $$ \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = 0,\quad \boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{c} = 0,\quad \boldsymbol{c} \cdot \boldsymbol{a} = 0. $$ 且长度分别为 $|\boldsymbol{a}| = 1$，$|\boldsymbol{b}| = 2$，$|\boldsymbol{c}| = 3$。
**第一步：求 $\boldsymbol{s} = \boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} + \boldsymbol{c}$ 的长度**
由向量模的平方公式： $$ |\boldsymbol{s}|^2 = \boldsymbol{s} \cdot \boldsymbol{s} = (\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}) \cdot (\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}) $$ 展开得： $$ = \boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{b} + \boldsymbol{c}\cdot\boldsymbol{c} + 2(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b} + \boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{c} + \boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{c}) $$ 由于两两垂直，所有混合点积为零，因此： $$ |\boldsymbol{s}|^2 = |\boldsymbol{a}|^2 + |\boldsymbol{b}|^2 + |\boldsymbol{c}|^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 = 1 + 4 + 9 = 14. $$ 所以： $$ |\boldsymbol{s}| = \sqrt{14}. $$
**第二步：求 $\boldsymbol{s}$ 与 $\boldsymbol{a}$ 的夹角 $\theta_a$**
由点积公式： $$ \boldsymbol{s} \cdot \boldsymbol{a} = (\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})\cdot\boldsymbol{a} = \boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{a} + \boldsymbol{c}\cdot\boldsymbol{a} = |\boldsymbol{a}|^2 + 0 + 0 = 1. $$ 又： $$ \boldsymbol{s} \cdot \boldsymbol{a} = |\boldsymbol{s}|\,|\boldsymbol{a}|\cos\theta_a = \sqrt{14} \cdot 1 \cdot \cos\theta_a. $$ 因此： $$ \cos\theta_a = \frac{1}{\sqrt{14}},\quad \theta_a = \arccos\left(\frac{1}{\sqrt{14}}\right). $$
**第三步：求 $\boldsymbol{s}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 的夹角 $\theta_b$**
类似地： $$ \boldsymbol{s} \cdot \boldsymbol{b} = (\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})\cdot\boldsymbol{b} = 0 + |\boldsymbol{b}|^2 + 0 = 4. $$ 又有： $$ \boldsymbol{s} \cdot \boldsymbol{b} = \sqrt{14} \cdot 2 \cdot \cos\theta_b. $$ 所以： $$ \cos\theta_b = \frac{4}{2\sqrt{14}} = \frac{2}{\sqrt{14}},\quad \theta_b = \arccos\left(\frac{2}{\sqrt{14}}\right). $$
**第四步：求 $\boldsymbol{s}$ 与 $\boldsymbol{c}$ 的夹角 $\theta_c$**
同理： $$ \boldsymbol{s} \cdot \boldsymbol{c} = 0 + 0 + |\boldsymbol{c}|^2 = 9. $$ 又有： $$ \boldsymbol{s} \cdot \boldsymbol{c} = \sqrt{14} \cdot 3 \cdot \cos\theta_c. $$ 所以： $$ \cos\theta_c = \frac{9}{3\sqrt{14}} = \frac{3}{\sqrt{14}},\quad \theta_c = \arccos\left(\frac{3}{\sqrt{14}}\right). $$
**最终答案：** $$ |\boldsymbol{s}| = \sqrt{14},\quad \theta_a = \arccos\frac{1}{\sqrt{14}},\quad \theta_b = \arccos\frac{2}{\sqrt{14}},\quad \theta_c = \arccos\frac{3}{\sqrt{14}}. $$
难度：★☆☆☆☆