📝 题目
20．一直线过点 $(1,2,1)$ ，又与直线 $\frac{x}{2}=y=-z$ 相交，且垂直于直线 $\frac{x-1}{3}=\frac{y}{2}=\frac{z+1}{1}$ ，求该直线方程．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 我们要求一条直线，它满足三个条件： 1. 过点 $P_0(1,2,1)$； 2. 与已知直线 $L_1: \frac{x}{2}=y=-z$ 相交； 3. 垂直于已知直线 $L_2: \frac{x-1}{3}=\frac{y}{2}=\frac{z+1}{1}$。
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**第一步：写出已知直线的方向向量**
对于 $L_1$： 将其写成对称式： $$ \frac{x}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z}{-1} $$ 所以方向向量 $$ \mathbf{s}_1 = (2, 1, -1) $$
对于 $L_2$： $$ \frac{x-1}{3} = \frac{y}{2} = \frac{z+1}{1} $$ 方向向量 $$ \mathbf{s}_2 = (3, 2, 1) $$
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**第二步：设所求直线方向向量为 $\mathbf{s} = (a,b,c)$**
由条件（3）：垂直于 $L_2$，即 $$ \mathbf{s} \cdot \mathbf{s}_2 = 0 $$ 所以 $$ 3a + 2b + c = 0 \tag{1} $$
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**第三步：利用与 $L_1$ 相交的条件**
设所求直线为过 $P_0$ 且方向为 $\mathbf{s}$ 的直线： $$ \frac{x-1}{a} = \frac{y-2}{b} = \frac{z-1}{c} $$
它与 $L_1$ 相交，即存在参数 $t$ 和 $u$ 使得： $$ (1 + a t,\; 2 + b t,\; 1 + c t) = (2u,\; u,\; -u) $$ 于是得到方程组： $$ \begin{cases} 1 + a t = 2u \\ 2 + b t = u \\ 1 + c t = -u \end{cases} $$
由第二式得 $u = 2 + b t$，代入第一式： $$ 1 + a t = 2(2 + b t) \implies 1 + a t = 4 + 2b t $$ $$ a t - 2b t = 3 \implies t(a - 2b) = 3 \tag{2} $$
代入第三式： $$ 1 + c t = -(2 + b t) \implies 1 + c t = -2 - b t $$ $$ c t + b t = -3 \implies t(b + c) = -3 \tag{3} $$
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**第四步：联立方向向量条件**
由(1)： $c = -3a - 2b$
代入(3)： $$ t(b - 3a - 2b) = t(-3a - b) = -3 $$ 即 $$ t(3a + b) = 3 \tag{4} $$
由(2)： $$ t(a - 2b) = 3 $$
所以(2)与(4)左边相等： $$ a - 2b = 3a + b $$ 移项： $$ -2b - b = 3a - a \implies -3b = 2a $$ $$ a = -\frac{3}{2} b $$
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**第五步：取非零方向向量**
取 $b = 2$，则 $a = -3$，再由(1)： $$ c = -3(-3) - 2(2) = 9 - 4 = 5 $$ 所以方向向量为 $$ \mathbf{s} = (-3, 2, 5) $$
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**第六步：写出直线方程**
过点 $(1,2,1)$，方向 $(-3,2,5)$，对称式： $$ \frac{x-1}{-3} = \frac{y-2}{2} = \frac{z-1}{5} $$
也可写成参数式： $$ \begin{cases} x = 1 - 3t \\ y = 2 + 2t \\ z = 1 + 5t \end{cases} $$
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**最终答案** $$ \boxed{\frac{x-1}{-3} = \frac{y-2}{2} = \frac{z-1}{5}} $$
难度：★★☆☆☆