📝 题目
16．证明：过不在一直线上三点 $\left(x_{i}, y_{i}, z_{i}\right), i=1,2,3$ 的平面方程为
$$ \left|\begin{array}{ccc} x-x_{1} & y-y_{1} & z-z_{1} \\ x_{2}-x_{1} & y_{2}-y_{1} & z_{2}-z_{1} \\ x_{3}-x_{1} & y_{3}-y_{1} & z_{3}-z_{1} \end{array}\right|=0, $$
并写出过 $(1,1,-1),(-2,-2,2),(1,-1,2)$ 三点的平面方程．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 要证明过不共线三点 $(x_i, y_i, z_i), i=1,2,3$ 的平面方程可以表示为 $$ \left|\begin{array}{ccc} x-x_1 & y-y_1 & z-z_1 \\ x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ x_3-x_1 & y_3-y_1 & z_3-z_1 \end{array}\right| = 0, $$ 我们利用向量共面的条件。
**证明步骤：** 1. 设三点为 $P_1(x_1,y_1,z_1), P_2(x_2,y_2,z_2), P_3(x_3,y_3,z_3)$，且它们不共线，则向量 $$ \vec{P_1P_2} = (x_2-x_1,\; y_2-y_1,\; z_2-z_1),\quad \vec{P_1P_3} = (x_3-x_1,\; y_3-y_1,\; z_3-z_1) $$ 线性无关，构成平面的一组基向量。
2. 对于平面上任意一点 $P(x,y,z)$，向量 $$ \vec{P_1P} = (x-x_1,\; y-y_1,\; z-z_1) $$ 应与 $\vec{P_1P_2}$ 和 $\vec{P_1P_3}$ 共面。三个向量共面的充要条件是它们的混合积为零，即 $$ \vec{P_1P} \cdot (\vec{P_1P_2} \times \vec{P_1P_3}) = 0. $$
3. 混合积可以用行列式表示： $$ \left|\begin{array}{ccc} x-x_1 & y-y_1 & z-z_1 \\ x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ x_3-x_1 & y_3-y_1 & z_3-z_1 \end{array}\right| = 0. $$ 这就是过三点的平面方程。证毕。
---
**具体应用：** 给定三点： $A(1,1,-1),\; B(-2,-2,2),\; C(1,-1,2)$。 取 $P_1=A$，则 $$ x_1=1,\; y_1=1,\; z_1=-1, $$ $$ x_2-x_1 = -2-1 = -3,\quad y_2-y_1 = -2-1 = -3,\quad z_2-z_1 = 2-(-1)=3, $$ $$ x_3-x_1 = 1-1 = 0,\quad y_3-y_1 = -1-1 = -2,\quad z_3-z_1 = 2-(-1)=3. $$ 代入行列式得： $$ \left|\begin{array}{ccc} x-1 & y-1 & z+1 \\ -3 & -3 & 3 \\ 0 & -2 & 3 \end{array}\right| = 0. $$ 计算行列式： 按第一行展开： $$ (x-1)\cdot\left|\begin{array}{cc} -3 & 3 \\ -2 & 3 \end{array}\right| - (y-1)\cdot\left|\begin{array}{cc} -3 & 3 \\ 0 & 3 \end{array}\right| + (z+1)\cdot\left|\begin{array}{cc} -3 & -3 \\ 0 & -2 \end{array}\right|. $$ 分别计算： 第一个子式：$(-3)\cdot3 - 3\cdot(-2) = -9 + 6 = -3$， 第二个子式：$(-3)\cdot3 - 3\cdot0 = -9$，注意前面有负号，所以贡献为 $- (y-1)(-9) = 9(y-1)$， 第三个子式：$(-3)\cdot(-2) - (-3)\cdot0 = 6$。
因此行列式为： $$ (x-1)(-3) + 9(y-1) + (z+1)\cdot 6 = 0, $$ 即 $$ -3(x-1) + 9(y-1) + 6(z+1) = 0. $$ 两边除以3： $$ -(x-1) + 3(y-1) + 2(z+1) = 0. $$ 化简： $$ -x + 1 + 3y - 3 + 2z + 2 = 0, $$ $$ -x + 3y + 2z + (1-3+2) = -x + 3y + 2z + 0 = 0. $$ 所以平面方程为 $$ -x + 3y + 2z = 0 \quad\text{或}\quad x - 3y - 2z = 0. $$
---
**难度评级**：★★☆☆☆ （主要考察空间解析几何中向量共面条件与行列式表示，计算简单，思路直接。）