📝 题目
19．求证：两直线 $l_{1}: \frac{x-x_{1}}{m_{1}}=\frac{y-y_{1}}{n_{1}}=\frac{z-z_{1}}{p_{1}}, l_{2}: \frac{x-x_{2}}{m_{2}}=\frac{y-y_{2}}{n_{2}}=\frac{z-z_{2}}{p_{2}}$ 在同一平面上的条件为 $\left|\begin{array}{ccc}x_{2}-x_{1} & y_{2}-y_{1} & z_{2}-z_{1} \\ m_{1} & n_{1} & p_{1} \\ m_{2} & n_{2} & p_{2}\end{array}\right|=0$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答]
**证明：** 两条直线 $l_1$ 和 $l_2$ 在同一平面上，等价于它们共面。 直线 $l_1$ 过点 $P_1(x_1, y_1, z_1)$，方向向量为 $\vec{v}_1 = (m_1, n_1, p_1)$； 直线 $l_2$ 过点 $P_2(x_2, y_2, z_2)$，方向向量为 $\vec{v}_2 = (m_2, n_2, p_2)$。
两直线共面的充要条件是：向量 $\overrightarrow{P_1P_2}$、$\vec{v}_1$、$\vec{v}_2$ 共面，即它们的混合积为零：
$$ \overrightarrow{P_1P_2} \cdot (\vec{v}_1 \times \vec{v}_2) = 0. $$
计算混合积，用行列式表示为：
$$ \overrightarrow{P_1P_2} = (x_2 - x_1,\; y_2 - y_1,\; z_2 - z_1), $$ $$ \vec{v}_1 \times \vec{v}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ m_1 & n_1 & p_1 \\ m_2 & n_2 & p_2 \end{vmatrix}. $$
于是混合积为：
$$ \overrightarrow{P_1P_2} \cdot (\vec{v}_1 \times \vec{v}_2) = \begin{vmatrix} x_2 - x_1 & y_2 - y_1 & z_2 - z_1 \\ m_1 & n_1 & p_1 \\ m_2 & n_2 & p_2 \end{vmatrix}. $$
因此，两直线共面的条件为：
$$ \begin{vmatrix} x_2 - x_1 & y_2 - y_1 & z_2 - z_1 \\ m_1 & n_1 & p_1 \\ m_2 & n_2 & p_2 \end{vmatrix} = 0. $$
证毕。
**难度评级：★★☆☆☆** （属于空间解析几何中基本共面条件的向量证明，思路直接，计算简单。）