📝 题目
13．求平面 $5 x-14 y+2 z-8=0$ 和 $x O y$ 面的夹角．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 已知平面方程为 $$ 5x - 14y + 2z - 8 = 0 $$ 其法向量为 $$ \vec{n}_1 = (5,\,-14,\,2) $$ 而 $xOy$ 面（即 $z=0$ 平面）的法向量为 $$ \vec{n}_2 = (0,\,0,\,1) $$
两平面之间的夹角 $\theta$ 定义为它们法向量夹角中的锐角（或直角），满足 $$ \cos\theta = \frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{\|\vec{n}_1\| \cdot \|\vec{n}_2\|} $$
计算点积： $$ \vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = 5\cdot 0 + (-14)\cdot 0 + 2\cdot 1 = 2 $$
法向量的模： $$ \|\vec{n}_1\| = \sqrt{5^2 + (-14)^2 + 2^2} = \sqrt{25 + 196 + 4} = \sqrt{225} = 15 $$ $$ \|\vec{n}_2\| = 1 $$
因此 $$ \cos\theta = \frac{|2|}{15 \cdot 1} = \frac{2}{15} $$
从而 $$ \theta = \arccos\left(\frac{2}{15}\right) $$
这就是平面与 $xOy$ 面的夹角。
难度：★☆☆☆☆