📝 题目
14．求通过 $z$ 轴且与平面 $2 x+y-\sqrt{5} z-7=0$ 的夹角为 $\frac{\pi}{3}$ 的平面的方程．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 我们要求的是通过 $z$ 轴的平面方程。 通过 $z$ 轴的平面方程一般形式可设为 $$ Ax + By = 0 $$ 因为通过 $z$ 轴意味着平面包含所有点 $(0,0,z)$，所以方程中不含常数项且不含 $z$ 项，法向量为 $(A, B, 0)$。
已知另一平面的方程为 $$ 2x + y - \sqrt{5}z - 7 = 0 $$ 它的法向量为 $\mathbf{n}_1 = (2, 1, -\sqrt{5})$。
两平面的夹角定义为它们法向量夹角的锐角，因此 $$ \cos\theta = \frac{|\mathbf{n}_1 \cdot \mathbf{n}_2|}{\|\mathbf{n}_1\| \|\mathbf{n}_2\|} $$ 这里 $\theta = \frac{\pi}{3}$，所以 $$ \cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} $$
设所求平面的法向量为 $\mathbf{n}_2 = (A, B, 0)$，则 $$ \mathbf{n}_1 \cdot \mathbf{n}_2 = 2A + B $$ $$ \|\mathbf{n}_1\| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-\sqrt{5})^2} = \sqrt{4 + 1 + 5} = \sqrt{10} $$ $$ \|\mathbf{n}_2\| = \sqrt{A^2 + B^2} $$
代入夹角公式： $$ \frac{|2A + B|}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{A^2 + B^2}} = \frac{1}{2} $$ 两边平方： $$ \frac{(2A + B)^2}{10(A^2 + B^2)} = \frac{1}{4} $$ 交叉相乘： $$ 4(2A + B)^2 = 10(A^2 + B^2) $$ 展开： $$ 4(4A^2 + 4AB + B^2) = 10A^2 + 10B^2 $$ $$ 16A^2 + 16AB + 4B^2 = 10A^2 + 10B^2 $$ 移项： $$ 6A^2 + 16AB - 6B^2 = 0 $$ 除以2： $$ 3A^2 + 8AB - 3B^2 = 0 $$ 这是一个齐次方程，可视为关于 $A/B$ 的二次方程（设 $B \neq 0$）： $$ 3\left(\frac{A}{B}\right)^2 + 8\left(\frac{A}{B}\right) - 3 = 0 $$ 解得： $$ \frac{A}{B} = \frac{-8 \pm \sqrt{64 + 36}}{6} = \frac{-8 \pm 10}{6} $$ 即 $$ \frac{A}{B} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \quad \text{或} \quad \frac{A}{B} = \frac{-18}{6} = -3 $$
因此取 $A=1, B=3$ 或 $A=3, B=-1$（比例关系），得到两个平面方程： $$ x + 3y = 0 \quad \text{或} \quad 3x - y = 0 $$
所以所求平面方程为 $$ \boxed{x+3y=0} \quad \text{或} \quad \boxed{3x-y=0} $$
难度：★★☆☆☆