第5章 · 第5-1-16题

[AI解答]

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已知向量 $$ \boldsymbol{a}=(2,-3,1),\quad \boldsymbol{b}=(1,-1,3),\quad \boldsymbol{c}=(1,-2,0) $$

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### （1）$(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}) \times(\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})$

先计算： $$ \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b} = (2+1,\,-3-1,\,1+3) = (3,\,-4,\,4) $$ $$ \boldsymbol{b}+\boldsymbol{c} = (1+1,\,-1-2,\,3+0) = (2,\,-3,\,3) $$

叉积： $$ (\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})\times(\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}) = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 3 & -4 & 4 \\ 2 & -3 & 3 \end{vmatrix} $$

计算： $$ \mathbf{i}((-4)\cdot 3 - 4\cdot(-3)) - \mathbf{j}(3\cdot 3 - 4\cdot 2) + \mathbf{k}(3\cdot(-3) - (-4)\cdot 2) $$ $$ = \mathbf{i}(-12 + 12) - \mathbf{j}(9 - 8) + \mathbf{k}(-9 + 8) $$ $$ = (0,\,-1,\,-1) $$

所以： $$ \boxed{(0,\,-1,\,-1)} $$

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### （2）$(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}) \cdot \boldsymbol{c}$

先求 $\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}$： $$ \boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & -3 & 1 \\ 1 & -1 & 3 \end{vmatrix} $$ $$ = \mathbf{i}((-3)\cdot 3 - 1\cdot(-1)) - \mathbf{j}(2\cdot 3 - 1\cdot 1) + \mathbf{k}(2\cdot(-1) - (-3)\cdot 1) $$ $$ = \mathbf{i}(-9 + 1) - \mathbf{j}(6 - 1) + \mathbf{k}(-2 + 3) $$ $$ = (-8,\,-5,\,1) $$

再与 $\boldsymbol{c}=(1,-2,0)$ 点乘： $$ (-8)\cdot 1 + (-5)\cdot(-2) + 1\cdot 0 = -8 + 10 + 0 = 2 $$

所以： $$ \boxed{2} $$

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### （3）$(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}) \times \boldsymbol{c}$

由（2）得 $\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}=(-8,-5,1)$，与 $\boldsymbol{c}=(1,-2,0)$ 叉乘： $$ \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -8 & -5 & 1 \\ 1 & -2 & 0 \end{vmatrix} $$ $$ = \mathbf{i}((-5)\cdot 0 - 1\cdot(-2)) - \mathbf{j}((-8)\cdot 0 - 1\cdot 1) + \mathbf{k}((-8)\cdot(-2) - (-5)\cdot 1) $$ $$ = \mathbf{i}(0+2) - \mathbf{j}(0 - 1) + \mathbf{k}(16 + 5) $$ $$ = (2,\,1,\,21) $$

所以： $$ \boxed{(2,\,1,\,21)} $$

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### （4）$(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}) \boldsymbol{c}-(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c}) \boldsymbol{b}$

先计算点积： $$ \boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b} = 2\cdot 1 + (-3)\cdot(-1) + 1\cdot 3 = 2 + 3 + 3 = 8 $$ $$ \boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{c} = 2\cdot 1 + (-3)\cdot(-2) + 1\cdot 0 = 2 + 6 + 0 = 8 $$

于是： $$ (\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b})\boldsymbol{c} = 8\cdot(1,-2,0) = (8,-16,0) $$ $$ (\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{c})\boldsymbol{b} = 8\cdot(1,-1,3) = (8,-8,24) $$

相减： $$ (8,-16,0) - (8,-8,24) = (0,\,-8,\,-24) $$

所以： $$ \boxed{(0,\,-8,\,-24)} $$

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难度：★☆☆☆☆