📝 题目
17．求与 $\boldsymbol{a}=3 \boldsymbol{i}-2 \boldsymbol{j}+4 \boldsymbol{k}, \boldsymbol{b}=\boldsymbol{i}+\boldsymbol{j}-2 \boldsymbol{k}$ 都垂直的单位向量．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 设所求向量为 $\boldsymbol{c}$，它与 $\boldsymbol{a}$ 和 $\boldsymbol{b}$ 都垂直，因此 $\boldsymbol{c}$ 平行于它们的叉积 $\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}$。
首先计算叉积：
$$ \boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b} = \begin{vmatrix} \boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k} \\ 3 & -2 & 4 \\ 1 & 1 & -2 \end{vmatrix} $$
按第一行展开：
$$ \boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b} = \boldsymbol{i} \begin{vmatrix} -2 & 4 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} - \boldsymbol{j} \begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} + \boldsymbol{k} \begin{vmatrix} 3 & -2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} $$
计算各二阶行列式：
$$ \begin{vmatrix} -2 & 4 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = (-2)(-2) - (4)(1) = 4 - 4 = 0 $$
$$ \begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = (3)(-2) - (4)(1) = -6 - 4 = -10 $$
$$ \begin{vmatrix} 3 & -2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = (3)(1) - (-2)(1) = 3 + 2 = 5 $$
因此：
$$ \boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b} = 0 \cdot \boldsymbol{i} - (-10) \cdot \boldsymbol{j} + 5 \cdot \boldsymbol{k} = 10 \boldsymbol{j} + 5 \boldsymbol{k} $$
即：
$$ \boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b} = (0, 10, 5) $$
接下来求其模长：
$$ |\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}| = \sqrt{0^2 + 10^2 + 5^2} = \sqrt{100 + 25} = \sqrt{125} = 5\sqrt{5} $$
单位向量为：
$$ \boldsymbol{c} = \pm \frac{\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}|} = \pm \frac{(0, 10, 5)}{5\sqrt{5}} = \pm \left(0, \frac{2}{\sqrt{5}}, \frac{1}{\sqrt{5}}\right) $$
也可以有理化分母：
$$ \boldsymbol{c} = \pm \left(0, \frac{2\sqrt{5}}{5}, \frac{\sqrt{5}}{5}\right) $$
因此，与 $\boldsymbol{a}$ 和 $\boldsymbol{b}$ 都垂直的单位向量为：
$$ \boxed{\pm \left(0,\ \frac{2\sqrt{5}}{5},\ \frac{\sqrt{5}}{5}\right)} $$
难度：★☆☆☆☆