📝 题目
3．给定 $M(-2,0,1), N(2,3,0)$ 两点，在 $O x$ 轴上有一点 $A$ ，满足 $|A M|=|A N|$ ，求点 $A$ 的坐标．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 设点 $A$ 在 $Ox$ 轴上，因此其坐标为 $A(x,0,0)$。 已知 $M(-2,0,1)$，$N(2,3,0)$，且满足条件 $|AM| = |AN|$。
首先计算 $|AM|$ 与 $|AN|$ 的平方（为方便去掉根号）：
$$ |AM|^2 = (x + 2)^2 + (0 - 0)^2 + (0 - 1)^2 = (x+2)^2 + 1 $$
$$ |AN|^2 = (x - 2)^2 + (0 - 3)^2 + (0 - 0)^2 = (x-2)^2 + 9 $$
由 $|AM| = |AN|$ 得 $|AM|^2 = |AN|^2$，即：
$$ (x+2)^2 + 1 = (x-2)^2 + 9 $$
展开两边：
$$ x^2 + 4x + 4 + 1 = x^2 - 4x + 4 + 9 $$
化简：
$$ x^2 + 4x + 5 = x^2 - 4x + 13 $$
两边消去 $x^2$：
$$ 4x + 5 = -4x + 13 $$
移项：
$$ 4x + 4x = 13 - 5 $$
$$ 8x = 8 $$
解得：
$$ x = 1 $$
因此点 $A$ 的坐标为 $(1,0,0)$。
$$ \boxed{(1,0,0)} $$
难度：★☆☆☆☆