📝 题目
30．设向量 $\boldsymbol{x}$ 与 $\boldsymbol{j}$ 成 $60^{\circ}$ ，与 $\boldsymbol{k}$ 成 $120^{\circ}$ ，且 $|\boldsymbol{x}|=5 \sqrt{2}$ ，求 $\boldsymbol{x}$ 。
💡 答案与解析
[AI解答]
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已知向量 $\boldsymbol{x}$ 与 $\boldsymbol{j}$ 夹角为 $60^\circ$，与 $\boldsymbol{k}$ 夹角为 $120^\circ$，且模长 $|\boldsymbol{x}| = 5\sqrt{2}$。设 $\boldsymbol{x} = (x_1, x_2, x_3)$。
由向量点积公式：
与 $\boldsymbol{j} = (0,1,0)$ 的夹角： $$ \cos 60^\circ = \frac{\boldsymbol{x} \cdot \boldsymbol{j}}{|\boldsymbol{x}| \cdot |\boldsymbol{j}|} = \frac{x_2}{5\sqrt{2} \cdot 1} $$ 因为 $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$，所以 $$ \frac{x_2}{5\sqrt{2}} = \frac{1}{2} \quad\Rightarrow\quad x_2 = \frac{5\sqrt{2}}{2}. $$
与 $\boldsymbol{k} = (0,0,1)$ 的夹角： $$ \cos 120^\circ = \frac{\boldsymbol{x} \cdot \boldsymbol{k}}{|\boldsymbol{x}| \cdot |\boldsymbol{k}|} = \frac{x_3}{5\sqrt{2} \cdot 1} $$ 因为 $\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}$，所以 $$ \frac{x_3}{5\sqrt{2}} = -\frac{1}{2} \quad\Rightarrow\quad x_3 = -\frac{5\sqrt{2}}{2}. $$
又因为模长： $$ |\boldsymbol{x}|^2 = x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = (5\sqrt{2})^2 = 50. $$ 代入 $x_2$ 和 $x_3$： $$ x_1^2 + \left(\frac{5\sqrt{2}}{2}\right)^2 + \left(-\frac{5\sqrt{2}}{2}\right)^2 = 50. $$ 计算： $$ \left(\frac{5\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{25 \cdot 2}{4} = \frac{50}{4} = \frac{25}{2}. $$ 所以 $$ x_1^2 + \frac{25}{2} + \frac{25}{2} = 50 \quad\Rightarrow\quad x_1^2 + 25 = 50 \quad\Rightarrow\quad x_1^2 = 25. $$ 因此 $x_1 = \pm 5$。
于是向量 $\boldsymbol{x}$ 为： $$ \boldsymbol{x} = \left( \pm 5,\ \frac{5\sqrt{2}}{2},\ -\frac{5\sqrt{2}}{2} \right). $$
难度：★★☆☆☆