📝 题目
7．证明： $\operatorname{Prj}_{u}(\lambda \boldsymbol{a})=\lambda \operatorname{Prj}_{u} \boldsymbol{a}$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
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**证明**： 设向量 $\boldsymbol{a}$ 在单位向量 $\boldsymbol{u}$ 方向上的投影为 $\operatorname{Prj}_{\boldsymbol{u}} \boldsymbol{a}$，由投影的定义可知：
$$ \operatorname{Prj}_{\boldsymbol{u}} \boldsymbol{a} = (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{u}) \boldsymbol{u} $$
其中 $\boldsymbol{u}$ 是单位向量，即 $|\boldsymbol{u}| = 1$。
对于数乘向量 $\lambda \boldsymbol{a}$，它在 $\boldsymbol{u}$ 方向上的投影为：
$$ \operatorname{Prj}_{\boldsymbol{u}} (\lambda \boldsymbol{a}) = [(\lambda \boldsymbol{a}) \cdot \boldsymbol{u}] \boldsymbol{u} $$
由数量积的线性性质：$(\lambda \boldsymbol{a}) \cdot \boldsymbol{u} = \lambda (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{u})$，代入得：
$$ \operatorname{Prj}_{\boldsymbol{u}} (\lambda \boldsymbol{a}) = \lambda (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{u}) \boldsymbol{u} $$
而 $\lambda \operatorname{Prj}_{\boldsymbol{u}} \boldsymbol{a} = \lambda [(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{u}) \boldsymbol{u}]$，显然两者相等。因此：
$$ \operatorname{Prj}_{\boldsymbol{u}} (\lambda \boldsymbol{a}) = \lambda \operatorname{Prj}_{\boldsymbol{u}} \boldsymbol{a} $$
证毕。
难度：★☆☆☆☆