📝 题目
4．求经过两点 $(4,0,-2)$ 和 $(5,1,7)$ 且与 $x$ 轴平行的平面方程．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 已知平面经过两点 $A(4,0,-2)$ 和 $B(5,1,7)$，且与 $x$ 轴平行。 与 $x$ 轴平行，意味着平面的法向量垂直于 $x$ 轴的方向向量 $\mathbf{i}=(1,0,0)$。 因此，法向量 $\mathbf{n}$ 应同时垂直于 $\overrightarrow{AB}$ 和 $\mathbf{i}$，即取两者的叉积。
首先计算向量 $\overrightarrow{AB}$： $$ \overrightarrow{AB} = (5-4,\,1-0,\,7-(-2)) = (1,1,9) $$
取叉积： $$ \mathbf{n} = \overrightarrow{AB} \times \mathbf{i} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 1 & 9 \\ 1 & 0 & 0 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1\cdot0 - 9\cdot0) - \mathbf{j}(1\cdot0 - 9\cdot1) + \mathbf{k}(1\cdot0 - 1\cdot1) $$ $$ = \mathbf{i}(0) - \mathbf{j}(0 - 9) + \mathbf{k}(0 - 1) = 0\mathbf{i} + 9\mathbf{j} - 1\mathbf{k} $$ 即 $$ \mathbf{n} = (0,9,-1) $$
取点 $A(4,0,-2)$，平面方程为： $$ 0\cdot(x-4) + 9\cdot(y-0) + (-1)\cdot(z+2) = 0 $$ 化简得： $$ 9y - (z+2) = 0 $$ 即 $$ 9y - z - 2 = 0 $$
因此所求平面方程为： $$ \boxed{9y - z - 2 = 0} $$
难度：★★☆☆☆ （涉及空间解析几何中平面方程与方向向量、叉积的基本运算，计算量小，思路直接）